ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим коэффициенты при степенях $a$ на множители:

$$x^2-x=x(x-1),x^4-x^3-x+1=x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^3-1),-x^3+x^2=-x^2(x-1).$$

Во всех трёх слагаемых есть множитель $x-1$, вынесем его:

$$(x-1)\left(x{a}^2-(x^3-1)a-x^2\right)=0.$$

Во второй скобке раскроем $(x^3-1)a$ и сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым:

$$x{a}^2-x^{3}a+a-x^2=xa\left(a-x^2\right)+\left(a-x^2\right)=(xa+1)\left(a-x^2\right).$$

Значит, уравнение имеет вид

$$(x-1)(ax+1)\left(a-x^2\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1,\\ ax=-1,\\ a=x^2.\end{array}$$

Все множители определены при любых $x$ и $a$, поэтому переход к совокупности равносилен.

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. При фиксированном $a$ корни уравнения — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с множеством решений совокупности. Нужно, чтобы таких точек было ровно две.

1. Уравнение $x=1$ задаёт вертикальную прямую.

2. В уравнении $ax=-1$ значение $x=0$ невозможно, поэтому $a=-\frac{1}{x}$ — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях.

3. Уравнение $a=x^2$ задаёт параболу с вершиной $(0;0)$ и ветвями вверх.

Общие точки линий. Прямая и парабола: $a=1^2=1$ — точка $(1;1)$. Прямая и гипербола: $a=-\frac{1}{1}=-1$ — точка $(1;-1)$. Парабола и гипербола: $x^2=-\frac{1}{x}$, то есть $x^3=-1$, $x=-1$ — точка $(-1;1)$.

Корни на горизонтальной прямой. Прямая $x=1$ даёт корень $x=1$ при любом $a$. Гипербола даёт корень $x=-\frac{1}{a}$ при $a\ne 0$. Парабола даёт два корня $x=\pm \sqrt{a}$ при $a>0$, один корень $x=0$ при $a=0$ и ни одного при $a<0$. Корни могут совпасть только в найденных общих точках.

Граничные положения горизонтальной прямой: $a=-1$ (через точку $(1;-1)$), $a=0$ (через вершину параболы, это ось абсцисс) и $a=1$ (через точки $(1;1)$ и $(-1;1)$).

Разберём положения прямой сверху вниз.

При $a>1$ корни $1$, $-\frac{1}{a}\in (-1;0)$, $\sqrt{a}>1$ и $-\sqrt{a}<-1$ — четыре различных.

При $a=1$ корни $1$, $-1$, $\sqrt{1}=1$, $-\sqrt{1}=-1$ — различных только два: $1$ и $-1$. Подходит.

При $0<a<1$ корни $1$, $-\frac{1}{a}<-1$, $\sqrt{a}\in (0;1)$, $-\sqrt{a}\in (-1;0)$ — четыре различных.

При $a=0$ гипербола корней не даёт, парабола даёт $x=0$, прямая — $x=1$. Два корня, подходит.

При $-1<a<0$ парабола корней не даёт, остаются $1$ и $-\frac{1}{a}>1$ — два корня, подходит.

При $a=-1$ корень $-\frac{1}{a}=1$ совпадает с корнем $x=1$ — один корень.

При $a<-1$ корни $1$ и $-\frac{1}{a}\in (0;1)$ — два, подходит.

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup (-1;0]\cup \{1\}$.