Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Перенесём все слагаемые, кроме корня, в правую часть:
Рассмотрим функции
Обе определены и непрерывны при всех : подкоренное выражение положительно. Корни уравнения — это значения , при которых .
Функция . Так как , имеем , причём равенство достигается только при . Итак, наименьшее значение равно .
Функция . На каждом промежутке, где выражения под модулями сохраняют знак, — линейная функция. Найдём её угловые коэффициенты.
При имеем , то есть слагаемое равно . Слагаемое равно либо , либо . Поэтому на каждом участке луча функция имеет вид с или . Оба коэффициента не больше , и так как непрерывна, то
При имеем , слагаемое равно , и угловой коэффициент равен или . Значит, на луче функция возрастает.
Итак, возрастает до точки и убывает после неё, поэтому — точка максимума и при всех . Найдём это наибольшее значение:
Условие существования корня. Пусть . Тогда при любом
и равенство невозможно — корней нет.
Пусть . Рассмотрим на луче непрерывную функцию . В нуле . При выполнено и , поэтому
При правая часть равна , то есть . Непрерывная функция на отрезке принимает значения разных знаков (или обращается в нуль при ), значит, на нём есть корень. Уравнение имеет хотя бы один корень.
Итак, уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда
Решим это неравенство, раскрыв модуль.
При имеем :
Корни трёхчлена: . Неравенство выполнено между корнями: . Оба корня положительны, так как , поэтому весь этот отрезок лежит в области .
При имеем :
Квадрат неотрицателен, поэтому возможно только , то есть . Это значение отрицательно и подходит.
При получаем — неверно.
Объединим найденные значения:
Ответ: .