ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x^2-4ax+5a⩾0$.

Разложим левую часть: $|x^2-a^2|=|x-a|\cdot |x+a|$. Перенесём всё влево и вынесем общий множитель:

$$|x-a|\cdot \left(|x+a|-\sqrt{x^2-4ax+5a}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x-a=0,\\ x^2-4ax+5a⩾0;\end{array}\\ |x+a|=\sqrt{x^2-4ax+5a}.\end{array}$$

Второе уравнение. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход; условие ОДЗ выполнится само, так как подкоренное выражение окажется равным $(x+a{)}^2⩾0$:

$$(x+a{)}^2=x^2-4ax+5a\iff x^2+2ax+a^2=x^2-4ax+5a\iff 6ax=5a-a^2.$$

Случай $a=0$. Последнее равенство верно при всех $x$. Действительно, при $a=0$ исходное уравнение принимает вид $x^2=|x|\cdot \sqrt{x^2}=x^2$ и выполняется при любом $x$ — корней бесконечно много. Значение $a=0$ не подходит.

Случай $a\ne 0$. Разделим на $6a$: второе уравнение даёт корень

$$x_2=\frac{5-a}{6},$$

и он существует при любом $a\ne 0$.

Корень $x_1=a$. Он подходит, если удовлетворяет ОДЗ:

$$a^2-4a\cdot a+5a⩾0\iff -3a^2+5a⩾0\iff a(3a-5)⩽0\iff 0⩽a⩽\frac{5}{3}.$$

Совпадение корней. $x_1=x_2$ при $a=\frac{5-a}{6}$, то есть $6a=5-a$, $a=\frac{5}{7}$.

Подсчёт корней (при $a\ne 0$).

• $a<0$ или $a>\frac{5}{3}$: корень $x_1$ не входит в ОДЗ, есть только $x_2$ — один корень.
• $0<a⩽\frac{5}{3}$, $a\ne \frac{5}{7}$: корни $x_1$ и $x_2$ различны — два корня.
• $a=\frac{5}{7}$: $x_1=x_2=\frac{5}{7}$ — один корень.

Ровно два различных корня получаются при $0<a⩽\frac{5}{3}$, $a\ne \frac{5}{7}$.

Ответ: $a\in \left(0;\frac{5}{7}\right)\cup \left(\frac{5}{7};\frac{5}{3}\right]$.