ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Условия на основание. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы:

$$\{\begin{array}{l}a+2,5>0,\\ a+2,5\ne 1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a>-2,5,\\ a\ne -1,5.\end{array}$$

При остальных $a$ уравнение не имеет смысла и корней не имеет.

Равносильный переход. При допустимом основании $b$ равенство ${\log }_{b}u={\log }_{b}v$ равносильно системе $u=v$, $u>0$: логарифм — монотонная функция, и равные значения он принимает только при равных аргументах, а положительность одного аргумента вместе с равенством даёт положительность второго. В нашем случае $u=x^2+3>0$ при всех $x$, поэтому

$${\log }_{a+2,5}(x^2+3)={\log }_{a+2,5}((a+4)x+4)\iff x^2+3=(a+4)x+4\iff x^2-(a+4)x-1=0.$$

Условие $(a+4)x+4>0$ выполняется автоматически, так как $(a+4)x+4=x^2+3>0$.

Число корней. Квадратное уравнение $x^2-(a+4)x-1=0$ имеет дискриминант

$$D=(a+4{)}^2+4>0$$

при любом $a$. Значит, при каждом допустимом $a$ уравнение имеет ровно два различных корня (они даже разных знаков: их произведение равно $-1$).

Итак, ровно два различных корня получаются при всех $a>-2,5$, $a\ne -1,5$.

Ответ: $a\in (-2,5;-1,5)\cup (-1,5;+\infty )$.