Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (|x-2a-1|+|x-2a+1|)²+a(|x-2a-1|+|x-2a+1|)+a²-48=0 имеет ровно… — 19 задание ЕГЭ профиль

№19 Параметр и модуль сложная 2025 развёрнутое

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

$(∣ x - 2 a - 1∣ + ∣ x - 2 a + 1∣)^{2} + a (∣ x - 2 a - 1∣ + ∣ x - 2 a + 1∣) + a^{2} - 48 = 0$

имеет ровно два различных решения.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 4 балла

Обозначим $y = ∣ x - 2 a - 1∣ + ∣ x - 2 a + 1∣$ . Тогда уравнение принимает вид

$y^{2} + a y + a^{2} - 48 = 0. (1)$

Исследуем замену. Подмодульные выражения обращаются в нуль при $x = 2 a + 1$ и $x = 2 a - 1$ , причём $2 a - 1 < 2 a + 1$ при любом $a$ . Раскроем модули на трёх промежутках.

Рисунок к решению

$x ⩽ 2 a - 1$ : оба выражения неположительны, $y = - (x - 2 a - 1) - (x - 2 a + 1) = - 2 x + 4 a$ .
$2 a - 1 < x < 2 a + 1$ : $y = - (x - 2 a - 1) + (x - 2 a + 1) = 2$ .
$x ⩾ 2 a + 1$ : оба выражения неотрицательны, $y = (x - 2 a - 1) + (x - 2 a + 1) = 2 x - 4 a$ .

На левом луче $y$ убывает от $+ \infty$ до $2$ , на отрезке $[2 a - 1; 2 a + 1]$ равно $2$ , на правом луче возрастает от $2$ до $+ \infty$ .

Рисунок к решению

Отсюда:

при $y < 2$ значений $x$ нет;
при $y = 2$ значений $x$ бесконечно много (весь отрезок $[2 a - 1; 2 a + 1]$ );
каждому $y > 2$ соответствуют ровно два значения $x$ — по одному на каждом луче.

Условие на корни уравнения (1). Разным $y$ соответствуют разные $x$ . Корень $y = 2$ даёт бесконечно много решений, корень $y < 2$ решений не даёт, корень $y > 2$ даёт ровно два решения. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда у уравнения (1) ровно один корень больше $2$ , корня $y = 2$ нет, а другой корень (если он есть) меньше $2$ .

Пусть $f (y) = y^{2} + a y + a^{2} - 48$ ; её график — парабола с ветвями вверх. Возможны два случая.

Случай 1: корни по разные стороны от $2$ . Для параболы с ветвями вверх это равносильно условию $f (2) < 0$ (тогда корни автоматически существуют и различны).

Рисунок к решению

$f (2) = 4 + 2 a + a^{2} - 48 = a^{2} + 2 a - 44 < 0.$

Корни трёхчлена $a^{2} + 2 a - 44$ : $a = - 1 \pm 1 + 44 = - 1 \pm 35$ . Получаем

$(a + 1 + 35) (a + 1 - 35) < 0 \Leftrightarrow a \in (- 1 - 35; - 1 + 35) .$

Метод интервалов

Случай 2: единственный (двойной) корень больше $2$ . Нужно $D = 0$ :

$D = a^{2} - 4 (a^{2} - 48) = 192 - 3 a^{2} = 0 \Leftrightarrow a^{2} = 64 \Leftrightarrow a = \pm 8.$

Двойной корень равен абсциссе вершины $y_{0} = - \frac{a}{2}$ .

При $a = 8$ : $y_{0} = - 4 < 2$ — решений по $x$ нет, не подходит.
При $a = - 8$ : $y_{0} = 4 > 2$ — ровно два решения по $x$ , подходит.

Положение точки $- 8$ . Проверим, не входит ли она в интервал из случая 1: $- 8 < - 1 - 35 \Leftrightarrow 35 < 7 \Leftrightarrow 45 < 49$ — верно. Значит, $- 8$ — отдельная точка левее интервала.

Объединяя случаи, получаем:

Решение на числовой прямой

Ответ: $a \in {- 8} \cup (- 1 - 35; - 1 + 35)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Сообщить об ошибке

Ещё задания №19