ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Корень определён при $y-x+7⩾0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом определён (первый множитель определён всегда):

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}xy-x+7=0,\\ y⩾x-7;\end{array}\\ y=x-7.\end{array}$$

В уравнении $xy-x+7=0$ значение $x=0$ невозможно (получаем $7=0$), поэтому $y=\frac{x-7}{x}=1-\frac{7}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=1$.

Найдём, какая часть гиперболы лежит не ниже прямой $y=x-7$:

$$1-\frac{7}{x}⩾x-7\iff \frac{8x-7-x^2}{x}⩾0\iff \frac{(x-1)(x-7)}{x}⩽0.$$

Получаем $x<0$ или $1⩽x⩽7$. На концах $x=1$ и $x=7$ неравенство обращается в равенство, то есть это общие точки гиперболы и прямой: $(1;-6)$ и $(7;0)$. Других общих точек у них нет: уравнение $1-\frac{7}{x}=x-7$ равносильно $x^2-8x+7=0$, его корни $1$ и $7$.

Итак, первое уравнение задаёт на плоскости $(x;y)$ прямую $\ell$: $y=x-7$, всю левую ветвь гиперболы $y=1-\frac{7}{x}$ (при $x<0$) и дугу правой ветви при $1⩽x⩽7$ с концами $(1;-6)$ и $(7;0)$ на прямой $\ell$.

Второе уравнение $y=3x+a$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $3$; при изменении $a$ она сдвигается параллельно самой себе.

Общие точки с прямой $\ell$. Из $3x+a=x-7$ получаем $x=-\frac{a+7}{2}$ — ровно одна точка при любом $a$ (угловые коэффициенты $3$ и $1$ различны).

Общие точки с гиперболой. Решим уравнение $3x+a=1-\frac{7}{x}$. Умножим на $x\ne 0$:

$$3x^2+(a-1)x+7=0.(\ast )$$

Число $x=0$ корнем $(\ast )$ не является (свободный член равен $7$), поэтому переход равносилен. По теореме Виета произведение корней равно $\frac{7}{3}>0$ — корни одного знака, а их сумма равна $\frac{1-a}{3}$. Дискриминант $D=(a-1{)}^2-84$.

Касание. $D=0$ при $a-1=\pm \sqrt{84}=\pm 2\sqrt{21}$, то есть $a=1\pm 2\sqrt{21}$. Абсцисса точки касания $x=\frac{1-a}{6}$.

• При $a=1+2\sqrt{21}$: $x=-\frac{\sqrt{21}}{3}<0$ — точка касания на левой ветви, она входит в множество.
• При $a=1-2\sqrt{21}$: $x=\frac{\sqrt{21}}{3}$. Так как $16<21<25$, имеем $\frac{4}{3}<\frac{\sqrt{21}}{3}<\frac{5}{3}$, точка касания лежит на дуге $1⩽x⩽7$ и входит в множество.

Остальные случаи.

• $a>1+2\sqrt{21}$: $D>0$, сумма корней $\frac{1-a}{3}<0$, оба корня отрицательны — две точки на левой ветви.
• $1-2\sqrt{21}<a<1+2\sqrt{21}$: $D<0$ — общих точек нет.
• $a<1-2\sqrt{21}$: $D>0$, сумма корней положительна, оба корня положительны. Выясним, сколько их на отрезке $[1;7]$. Пусть $q(x)=3x^2+(a-1)x+7$; тогда $q(1)=a+9$, $q(7)=147+7a-7+7=7(a+21)$. Заметим, что $-21<-9<1-2\sqrt{21}$, так как $2\sqrt{21}<10$.

1. $-9⩽a<1-2\sqrt{21}$: $q(1)⩾0$, $q(7)>0$, а вершина $x_{\text{в}}=\frac{1-a}{6}$ лежит внутри $(1;7)$, так как $\frac{\sqrt{21}}{3}<\frac{1-a}{6}⩽\frac{10}{6}$. Значит, оба корня лежат на отрезке $[1;7]$ — две точки на дуге (при $a=-9$ один из корней равен $1$).

2. $-21⩽a<-9$: $q(1)<0⩽q(7)$ — ровно один корень на $(1;7]$, второй меньше $1$ — одна точка на дуге.

3. $a<-21$: $q(1)<0$ и $q(7)<0$, то есть числа $1$ и $7$ лежат между корнями — на дуге точек нет.

Совпадения. Точка на прямой $\ell$ может совпасть с точкой гиперболы только в концах дуги $(1;-6)$ и $(7;0)$. Прямая $y=3x+a$ проходит через $(7;0)$ при $0=21+a$, то есть $a=-21$, и через $(1;-6)$ при $-6=3+a$, то есть $a=-9$.

Изобразим множество и граничные положения прямой: I — $a=-21$, II — $a=-9$, III — $a=1-2\sqrt{21}$, IV — $a=1+2\sqrt{21}$.

Подсчёт решений. Каждой общей точке соответствует одно решение системы.

• $a<-21$: одна точка на $\ell$, на гиперболе точек нет — одно решение.
• $a=-21$ (положение I): точка на $\ell$ — это $(7;0)$; на дуге тоже только $x=7$ (второй корень $(\ast )$ равен $\frac{7/3}{7}=\frac{1}{3}<1$) — одно решение.
• $-21<a<-9$: точка на $\ell$ и одна точка на дуге, они различны — два решения.
• $a=-9$ (положение II): уравнение $(\ast )$ принимает вид $3x^2-10x+7=0$, $(x-1)(3x-7)=0$; точки дуги $(1;-6)$ и $\left(\frac{7}{3};-2\right)$, точка на $\ell$ совпадает с $(1;-6)$ — два решения.
• $-9<a<1-2\sqrt{21}$: точка на $\ell$ и две точки на дуге — три решения.
• $a=1-2\sqrt{21}$ (положение III): точка на $\ell$ и точка касания — два решения.
• $1-2\sqrt{21}<a<1+2\sqrt{21}$: только точка на $\ell$ — одно решение.
• $a=1+2\sqrt{21}$ (положение IV): точка на $\ell$ и точка касания — два решения.
• $a>1+2\sqrt{21}$: точка на $\ell$ и две точки на левой ветви — три решения.

Ровно два решения получаются при $-21<a⩽-9$ и при $a=1\pm 2\sqrt{21}$.

Ответ: $a\in (-21;-9]\cup \left\{1-2\sqrt{21};1+2\sqrt{21}\right\}$.