ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Будем считать $a$ второй координатой и решать задачу на плоскости $(x;a)$. Каждое решение системы — точка этой плоскости, а число решений при данном $a$ равно числу точек множества решений на горизонтальной прямой на этой высоте.

Первое уравнение. Оба множителя определены при всех $x$ и $a$, поэтому произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель:

$$[\begin{array}{l}4x^2+3a^2+40x-12a+112=0,\\ (x-1{)}^2+(a-4{)}^2=4.\end{array}$$

Выделим полные квадраты в первом уравнении:

$$4x^2+40x+3a^2-12a+112=4(x^2+10x+25)+3(a^2-4a+4)=4(x+5{)}^2+3(a-2{)}^2.$$

Сумма неотрицательных слагаемых $4(x+5{)}^2+3(a-2{)}^2$ равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю: $x=-5$, $a=2$. Значит, первое уравнение совокупности задаёт одну точку $A(-5;2)$.

Второе уравнение совокупности задаёт окружность ${\omega }_1$ с центром $O_1(1;4)$ радиуса $2$.

Второе уравнение системы $(x+2{)}^2+(a+2{)}^2=25$ задаёт окружность ${\omega }_2$ с центром $O_2(-2;-2)$ радиуса $5$.

Решения системы — это точки окружности ${\omega }_2$, которые совпадают с $A$ или лежат на ${\omega }_1$.

Точка $A$ лежит на ${\omega }_2$: $(-5+2{)}^2+(2+2{)}^2=9+16=25$.

Общие точки окружностей. Раскроем скобки в уравнениях окружностей:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+1+a^2-8a+16=4,\\ x^2+4x+4+a^2+4a+4=25.\end{array}$$

Вычтем первое уравнение из второго: $6x+12a-9=21$, то есть $x+2a=5$, $x=5-2a$. Подставим в уравнение $(x-1{)}^2+(a-4{)}^2=4$:

$$(4-2a{)}^2+(a-4{)}^2=4;16-16a+4a^2+a^2-8a+16=4;5a^2-24a+28=0.$$

$D=24^2-4\cdot 5\cdot 28=576-560=16$, откуда $a=\frac{24\pm 4}{10}$: $a=2$ или $a=\frac{14}{5}$.

При $a=2$ получаем $x=5-4=1$ — точка $B(1;2)$. При $a=\frac{14}{5}$ получаем $x=5-\frac{28}{5}=-\frac{3}{5}$ — точка $C\left(-\frac{3}{5};\frac{14}{5}\right)$.

Итак, множество решений системы на плоскости $(x;a)$ состоит из трёх точек: $A(-5;2)$, $B(1;2)$ и $C\left(-\frac{3}{5};\frac{14}{5}\right)$.

Проведём горизонтальные прямые через найденные точки.

Подсчёт.

• На прямой $a=2$ лежат две точки $A$ и $B$: при $a=2$ система имеет два решения ($x=-5$ и $x=1$).
• На прямой $a=\frac{14}{5}$ лежит одна точка $C$: при $a=\frac{14}{5}$ система имеет ровно одно решение $x=-\frac{3}{5}$.
• При остальных $a$ решений нет.

Ответ: $a=\frac{14}{5}$.