ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Разбор — 4 балла

Первое неравенство. Второй множитель $(x-1{)}^2+y^2$ — сумма квадратов. Он равен нулю только при $x=1$, $y=0$ и положителен во всех остальных точках.

• В точке $(1;0)$ произведение равно нулю, и неравенство выполнено.
• В остальных точках второй множитель положителен, на него можно разделить: $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2-1⩽0$, то есть $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2⩽1$.

Итак, первое неравенство задаёт на плоскости $(x;y)$ круг с центром $Q(3;3)$ радиуса $1$ вместе с границей и отдельную точку $P(1;0)$. Точка $P$ лежит вне круга: $(1-3{)}^2+(0-3{)}^2=13>1$.

Второе уравнение $y=ax+2$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через точку $(0;2)$. При изменении $a$ прямая поворачивается вокруг этой точки.

Система не имеет решений, когда прямая не проходит через точку $P$ и не имеет общих точек с кругом. Найдём граничные положения прямой.

Положение I: прямая проходит через $P(1;0)$. Подставим координаты: $0=a+2$, $a=-2$.

Положения II и III: прямая касается окружности. Прямая имеет общие точки с кругом, когда расстояние от центра $Q$ до неё не больше радиуса. Запишем прямую в виде $ax-y+2=0$. Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ равно $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, поэтому

$$\rho =\frac{|3a-3+2|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{|3a-1|}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Прямая пересекает круг или касается его при $\rho ⩽1$. Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход:

$$|3a-1|⩽\sqrt{a^2+1}\iff 9a^2-6a+1⩽a^2+1\iff 8a^2-6a⩽0\iff 2a(4a-3)⩽0\iff 0⩽a⩽\frac{3}{4}.$$

Граничные значения — положения касания: при $a=0$ (положение II) прямая $y=2$ касается окружности в точке $(3;2)$, при $a=\frac{3}{4}$ (положение III) прямая $y=\frac{3}{4}x+2$ касается её в точке $(2,4;3,8)$.

Подсчёт.

• При $0⩽a⩽\frac{3}{4}$ (положения от II до III включительно) прямая имеет общие точки с кругом — решения есть.
• При $a=-2$ (положение I) прямая проходит через точку $P$, а с кругом не пересекается, так как $-2\notin \left[0;\frac{3}{4}\right]$, — ровно одно решение $(1;0)$.
• При остальных $a$ прямая не задевает ни круг, ни точку $P$ — решений нет.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2)\cup (-2;0)\cup \left(\frac{3}{4};+\infty \right)$.