ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $3x+1⩾0$, то есть $x⩾-\frac{1}{3}$.

Разложим левую часть на множители: $|x^2-a^2|=|(x+a)(x-a)|=|x+a|\cdot |x-a|$. Перенесём всё влево и вынесем общий множитель:

$$|x+a|\cdot \left(|x-a|-\sqrt{3x+1}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x+a=0,\\ 3x+1⩾0;\end{array}\\ |x-a|=\sqrt{3x+1}.\end{array}$$

Первая система. Корень $x_0=-a$ удовлетворяет ОДЗ, если $-a⩾-\frac{1}{3}$, то есть $a⩽\frac{1}{3}$.

Второе уравнение. Обе его части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход. Условие $3x+1⩾0$ при этом выполнится само, так как $3x+1=(x-a{)}^2⩾0$:

$$(x-a{)}^2=3x+1\iff x^2-(2a+3)x+a^2-1=0.(\ast )$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a+3{)}^2-4(a^2-1)=4a^2+12a+9-4a^2+4=12a+13.$$

• При $a<-\frac{13}{12}$ уравнение $(\ast )$ корней не имеет.
• При $a=-\frac{13}{12}$ у него один корень $x_1=\frac{2a+3}{2}=\frac{-\frac{13}{6}+3}{2}=\frac{5}{12}$.
• При $a>-\frac{13}{12}$ у него два различных корня, и оба удовлетворяют ОДЗ.

Когда $x_0=-a$ совпадает с корнем $(\ast )$. Подставим $x=-a$ в $(\ast )$:

$$a^2+(2a+3)a+a^2-1=0\iff 4a^2+3a-1=0\iff a=\frac{-3\pm 5}{8},$$

то есть $a=-1$ или $a=\frac{1}{4}$.

Подсчёт корней. Расположим особые точки: $-\frac{13}{12}<-1<\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$.

• $a<-\frac{13}{12}$: у $(\ast )$ корней нет, $x_0=-a$ подходит (так как $a<\frac{1}{3}$) — один корень.
• $a=-\frac{13}{12}$: корни $x_0=\frac{13}{12}$ и $x_1=\frac{5}{12}$, они различны — два корня.
• $-\frac{13}{12}<a⩽\frac{1}{3}$: $x_0$ подходит, и у $(\ast )$ два различных корня. Если $a\ne -1$ и $a\ne \frac{1}{4}$, все три корня различны — три корня.
• $a=-1$: уравнение $(\ast )$ принимает вид $x^2-x=0$, его корни $0$ и $1$; $x_0=1$ совпадает с одним из них — два корня $0$ и $1$.
• $a=\frac{1}{4}$: уравнение $(\ast )$ принимает вид $x^2-\frac{7}{2}x-\frac{15}{16}=0$, или $16x^2-56x-15=0$, его корни $x=\frac{56\pm 64}{32}$, то есть $-\frac{1}{4}$ и $\frac{15}{4}$; $x_0=-\frac{1}{4}$ совпадает с одним из них — два корня.
• $a>\frac{1}{3}$: $x_0=-a<-\frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, а у $(\ast )$ два различных корня (так как $a>-\frac{13}{12}$) — два корня.

Ровно два различных решения получаются при $a=-\frac{13}{12}$, $a=-1$, $a=\frac{1}{4}$ и при $a>\frac{1}{3}$.

Ответ: $a\in \left\{-\frac{13}{12};-1;\frac{1}{4}\right\}\cup \left(\frac{1}{3};+\infty \right)$.