ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $f(x)=4|x+3|+3|x-a|$ и $h(y)=\sqrt{16-y^2}+2$. Неравенство имеет вид $f(x)⩽h(y)$, причём левая часть зависит только от $x$, а правая — только от $y$. Поэтому пара $(x;y)$ существует тогда и только тогда, когда наименьшее значение $f$ не больше наибольшего значения $h$. Найдём оба значения.

Наименьшее значение $f$. Функция $f$ непрерывна и на каждом промежутке между точками $-3$ и $a$ линейна. При $x<-3$ имеем $|x+3|=-x-3$, а слагаемое $3|x-a|$ имеет угловой коэффициент $3$ или $-3$. Значит, угловой коэффициент $f$ равен $-4+3=-1$ или $-4-3=-7$ — он отрицателен, и на луче $(-\infty ;-3]$ функция $f$ убывает.

При $x>-3$ имеем $|x+3|=x+3$, и угловой коэффициент $f$ равен $4+3=7$ или $4-3=1$ — он положителен, на луче $[-3;+\infty )$ функция $f$ возрастает.

Следовательно, наименьшее значение $f$ достигается при $x=-3$:

$$\min f=f(-3)=4\cdot 0+3|-3-a|=3|a+3|.$$

Наибольшее значение $h$. Корень определён при $16-y^2⩾0$, то есть при $-4⩽y⩽4$. Так как $y^2⩾0$, имеем $0⩽16-y^2⩽16$, откуда $0⩽\sqrt{16-y^2}⩽4$ и

$$2⩽h(y)⩽6.$$

Наибольшее значение $6$ достигается при $y=0$.

Условие существования пары. Если $3|a+3|>6$, то при любых допустимых $x$ и $y$

$$f(x)⩾3|a+3|>6⩾h(y),$$

и неравенство не выполняется ни для одной пары. Если же $3|a+3|⩽6$, то подходит пара $x=-3$, $y=0$: $f(-3)=3|a+3|⩽6=h(0)$.

Итак, нужно

$$3|a+3|⩽6\iff |a+3|⩽2\iff -2⩽a+3⩽2\iff -5⩽a⩽-1.$$

Ответ: $a\in [-5;-1]$.