ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $t=|x-a-2|+|x-a+2|$. Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-at+a^2-64=0.(1)$$

Исследуем замену. Подмодульные выражения обращаются в нуль при $x=a+2$ и $x=a-2$, причём $a-2<a+2$ при любом $a$. Раскроем модули на трёх промежутках.

1. $x⩽a-2$: оба выражения неположительны, $t=-(x-a-2)-(x-a+2)=-2x+2a$.

2. $a-2<x<a+2$: $t=-(x-a-2)+(x-a+2)=4$.

3. $x⩾a+2$: оба выражения неотрицательны, $t=(x-a-2)+(x-a+2)=2x-2a$.

На левом луче $t$ убывает от $+\infty$ до $4$, на отрезке $[a-2;a+2]$ равно $4$, на правом луче возрастает от $4$ до $+\infty$.

Отсюда:

• при $t<4$ значений $x$ нет;
• при $t=4$ значений $x$ бесконечно много (весь отрезок $[a-2;a+2]$);
• каждому $t>4$ соответствуют ровно два значения $x$ — по одному на каждом луче.

Условие на корни уравнения (1). Разным $t$ соответствуют разные $x$. Корень $t=4$ даёт бесконечно много решений, корень $t<4$ решений не даёт, корень $t>4$ даёт два решения. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда у уравнения (1) ровно один корень больше $4$, корня $t=4$ нет, а другой корень (если он есть) меньше $4$.

Пусть $f(t)=t^2-at+a^2-64$; её график — парабола с ветвями вверх. Возможны два случая.

Случай 1: корни по разные стороны от $4$. Для параболы с ветвями вверх это равносильно условию $f(4)<0$ (тогда корни автоматически существуют и различны).

$$f(4)=16-4a+a^2-64=a^2-4a-48<0.$$

Корни трёхчлена $a^2-4a-48$: $a=2\pm \sqrt{4+48}=2\pm 2\sqrt{13}$. Получаем

$$\left(a-2+2\sqrt{13}\right)\left(a-2-2\sqrt{13}\right)<0\iff a\in \left(2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13}\right).$$

Случай 2: единственный (двойной) корень больше $4$. Нужно $D=0$, а вершина параболы $t_0=\frac{a}{2}$ должна лежать правее $4$:

$$\{\begin{array}{l}D=a^2-4(a^2-64)=0,\\ \frac{a}{2}>4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3a^2=256,\\ a>8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\pm \frac{16}{\sqrt{3}},\\ a>8\end{array}\iff a=\frac{16}{\sqrt{3}}.$$

Здесь $\frac{16}{\sqrt{3}}>8$, так как $16>8\sqrt{3}$, то есть $2>\sqrt{3}$. Значение $-\frac{16}{\sqrt{3}}$ не подходит: тогда $t_0<0<4$.

Положение точки $\frac{16}{\sqrt{3}}$. Проверим, не входит ли она уже в интервал из случая 1. Докажем, что $\frac{16}{\sqrt{3}}>2+2\sqrt{13}$. Разделим обе части на $2$ и будем переходить к равносильным неравенствам; обе части положительны, поэтому возводить в квадрат можно:

$$\frac{8}{\sqrt{3}}>1+\sqrt{13}\iff \frac{64}{3}>14+2\sqrt{13}\iff \frac{11}{3}>\sqrt{13}\iff \frac{121}{9}>13\iff 121>117.$$

Последнее неравенство верно. Значит, $\frac{16}{\sqrt{3}}$ — отдельная точка правее интервала $\left(2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13}\right)$.

Объединяя случаи, получаем:

Ответ: $a\in \left(2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13}\right)\cup \left\{\frac{16}{\sqrt{3}}\right\}$.