ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим левую часть $f(x)=|x+2a+12|+|x-2a-18|$, правую $g(x)=4|x|+4|x-3|$. Неравенство $f(x)⩽g(x)$ должно выполняться при всех $x$, то есть график $f$ должен целиком лежать не выше графика $g$.

Правая часть. Раскроем модули в $g(x)$ на трёх промежутках:

1. $x<0$: $g(x)=-4x-4(x-3)=-8x+12$;

2. $0⩽x⩽3$: $g(x)=4x-4(x-3)=12$;

3. $x>3$: $g(x)=4x+4(x-3)=8x-12$.

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-8x+12,& x<0,\\ 12,& 0⩽x⩽3,\\ 8x-12,& x>3.\end{array}$$

Это «корыто» с ветвями вверх; его дно — отрезок прямой $y=12$ при $0⩽x⩽3$. В частности, $g(x)⩾12$ при всех $x$.

Левая часть. Модули в $f(x)$ обнуляются при $x=-2a-12$ и $x=2a+18$. Порядок этих точек зависит от $a$: $-2a-12⩽2a+18$ при $4a⩾-30$, то есть при $a⩾-7,5$.

Случай 1: $a⩾-7,5$. Раскроем модули:

1. $x<-2a-12$: $f(x)=-(x+2a+12)-(x-2a-18)=-2x+6$;

2. $-2a-12⩽x⩽2a+18$: $f(x)=(x+2a+12)-(x-2a-18)=4a+30$;

3. $x>2a+18$: $f(x)=(x+2a+12)+(x-2a-18)=2x-6$.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+6,& x<-2a-12,\\ 4a+30,& -2a-12⩽x⩽2a+18,\\ 2x-6,& x>2a+18.\end{array}$$

Это тоже «корыто»: дно на высоте $4a+30$, а боковые ветви лежат на прямых $y=-2x+6$ и $y=2x-6$, которые от $a$ не зависят. При изменении $a$ дно поднимается или опускается, а его концы скользят по этим двум прямым.

Ветви $f$ лежат ниже графика $g$. Сравним прямую $y=-2x+6$ с $g$. При $x<0$: $(-8x+12)-(-2x+6)=6-6x>0$. При $0⩽x⩽3$: $-2x+6⩽6<12$. При $x>3$: $-2x+6<0<g(x)$. Аналогично для прямой $y=2x-6$: при $x>3$ имеем $(8x-12)-(2x-6)=6x-6>0$, при $0⩽x⩽3$ имеем $2x-6⩽0<12$, при $x<0$ имеем $2x-6<0<g(x)$. Значит, обе прямые целиком лежат ниже графика $g$, и вне своего дна график $f$ неравенство не нарушает.

Поэтому всё решает дно: нужно, чтобы $4a+30⩽g(x)$ на отрезке $[-2a-12;2a+18]$. Этот отрезок симметричен относительно точки $x=3$ (его середина $\frac{-2a-12+2a+18}{2}=3$), поэтому содержит $x=3$, где $g(3)=12$. Отсюда необходимо $4a+30⩽12$. Это и достаточно, так как $g(x)⩾12$ при всех $x$. Итак, дно $f$ должно быть не выше дна $g$:

$$4a+30⩽12\iff 4a⩽-18\iff a⩽-4,5.$$

С учётом $a⩾-7,5$ получаем $a\in [-7,5;-4,5]$.

Случай 2: $a<-7,5$. Теперь $2a+18<-2a-12$. Раскроем модули:

1. $x<2a+18$: $f(x)=-(x+2a+12)-(x-2a-18)=-2x+6$;

2. $2a+18⩽x⩽-2a-12$: $f(x)=-(x+2a+12)+(x-2a-18)=-4a-30$;

3. $x>-2a-12$: $f(x)=(x+2a+12)+(x-2a-18)=2x-6$.

Снова «корыто» с теми же боковыми прямыми $y=-2x+6$ и $y=2x-6$ и дном на высоте $-4a-30$ над отрезком, содержащим $x=3$. Ветви, как уже доказано, лежат ниже $g$, поэтому условие то же — дно не выше $12$:

$$-4a-30⩽12\iff 4a⩾-42\iff a⩾-10,5.$$

С учётом $a<-7,5$ получаем $a\in [-10,5;-7,5)$.

Изобразим график $g$ и граничное положение «корыта» $f$, когда его дно лежит на прямой $y=12$. Это происходит при $a=-4,5$ и при $a=-10,5$: в обоих случаях $f(x)=|x+3|+|x-9|$, дно — отрезок $[-3;9]$.

При $a\in (-10,5;-4,5)$ дно $f$ опускается ниже, и весь график $f$ лежит под графиком $g$. При $a<-10,5$ или $a>-4,5$ дно поднимается выше $12$, и в точке $x=3$ неравенство нарушается.

Объединяя случаи, получаем $a\in [-10,5;-4,5]$.

Ответ: $a\in [-10,5;-4,5]$.