ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

$$\{\begin{array}{l}9x^2-a^2=0,\\ 3x-9-2a\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(3x-a)(3x+a)=0,\\ a\ne \frac{3}{2}(x-3)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}a=3x,\\ a=-3x,\end{array}\\ a\ne 1,5(x-3).\end{array}$$

Будем считать параметр $a$ второй координатой и изобразим множество $S$ решений этой системы на плоскости $(x;a)$. Если точка $(x_0;a_0)$ лежит в $S$, то при $a=a_0$ число $x_0$ — решение уравнения. Поэтому число решений при данном $a_0$ равно числу общих точек множества $S$ с горизонтальной прямой $a=a_0$.

Множество $S$ — это прямые $a=3x$ и $a=-3x$, из которых выколоты их точки на прямой $r$: $a=1,5(x-3)$.

Особые точки. Прямые $a=3x$ и $a=-3x$ пересекаются в точке $C(0;0)$. Найдём точки их пересечения с прямой $r$.

$$3x=1,5(x-3)\iff 2x=x-3\iff x=-3,a=-9;A(-3;-9).$$

$$-3x=1,5(x-3)\iff -2x=x-3\iff x=1,a=-3;B(1;-3).$$

Точки $A$ и $B$ выколоты, точка $C$ принадлежит $S$ (знаменатель при $x=0$, $a=0$ равен $-9\ne 0$).

Подсчёт решений. Любая горизонтальная прямая $a=a_0$ пересекает каждую из прямых $a=3x$ и $a=-3x$ ровно в одной точке: $x=\frac{a_0}{3}$ и $x=-\frac{a_0}{3}$. Число решений меньше двух в трёх случаях.

• $a_0=0$: обе точки совпадают с $C$ — одно решение $x=0$.
• $a_0=-9$: точка $x=-3$ на прямой $a=3x$ — это выколотая точка $A$; остаётся $x=3$ на прямой $a=-3x$ (знаменатель $9-9+18=18\ne 0$) — одно решение.
• $a_0=-3$: точка $x=1$ на прямой $a=-3x$ — это выколотая точка $B$; остаётся $x=-1$ на прямой $a=3x$ (знаменатель $-3-9+6=-6\ne 0$) — одно решение.

При всех остальных $a_0$ точки $x=\pm \frac{a_0}{3}$ различны и не выколоты — ровно два решения.

Ответ: $a\in (-\infty ;-9)\cup (-9;-3)\cup (-3;0)\cup (0;+\infty )$.