ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

Равносильный переход. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Логарифм определён при $3x-1>0$, корень — при $x^2-8x+8a-a^2⩾0$. Учтём также, что корень ищется на отрезке $[0;4]$. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\ln (3x-1)=0,\\ x^2-8x+8a-a^2⩾0,\\ 0⩽x⩽4;\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{x}^2-8x+8a-a^2=0,\\ 3x-1>0,\\ 0⩽x⩽4.\end{array}\end{array}$$

В первой системе условие $3x-1>0$ не нужно: из $\ln (3x-1)=0$ следует $3x-1=1>0$.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-8x+8a-a^2=(x-a)(x-(8-a)).$$

Проверка: $(x-a)(x-8+a)=x^2-(8-a)x-ax+a(8-a)=x^2-8x+8a-a^2$.

Значит, кандидатов в корни три:

$$x_1=\frac{2}{3}(\text{из }3x-1=1),x_2=a,x_3=8-a.$$

Назовём кандидата подходящим, если он удовлетворяет всем условиям своей системы. Найдём, при каких $a$ подходит каждый.

Кандидат $x_1=\frac{2}{3}$. Он лежит на отрезке $[0;4]$. Остаётся условие неотрицательности подкоренного выражения:

$$\left(\frac{2}{3}-a\right)\left(\frac{2}{3}-8+a\right)⩾0\iff \left(a-\frac{2}{3}\right)\left(a-\frac{22}{3}\right)⩽0\iff \frac{2}{3}⩽a⩽\frac{22}{3}.$$

Кандидат $x_2=a$. Подкоренное выражение в нём равно нулю. Нужно $3a-1>0$ и $0⩽a⩽4$:

$$\{\begin{array}{l}a>\frac{1}{3},\\ 0⩽a⩽4\end{array}\iff \frac{1}{3}<a⩽4.$$

Кандидат $x_3=8-a$. Нужно $3(8-a)-1>0$ и $0⩽8-a⩽4$:

$$\{\begin{array}{l}23-3a>0,\\ 4⩽a⩽8\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a<\frac{23}{3},\\ 4⩽a⩽8\end{array}\iff 4⩽a<\frac{23}{3}.$$

Совпадения кандидатов. $x_1=x_2$ при $a=\frac{2}{3}$; $x_1=x_3$ при $8-a=\frac{2}{3}$, то есть $a=\frac{22}{3}$; $x_2=x_3$ при $a=8-a$, то есть $a=4$. При этих $a$ совпавшие кандидаты дают один корень.

Подсчёт корней. Граничные точки $\frac{1}{3}<\frac{2}{3}<4<\frac{22}{3}<\frac{23}{3}$ делят ось на промежутки. Пройдём по ним.

• $a⩽\frac{1}{3}$: ни один кандидат не подходит — корней нет.
• $\frac{1}{3}<a<\frac{2}{3}$: подходит только $x_2$ — один корень.
• $a=\frac{2}{3}$: подходят $x_1$ и $x_2$, но $x_1=x_2=\frac{2}{3}$; $x_3$ не подходит — один корень.
• $\frac{2}{3}<a<4$: подходят $x_1$ и $x_2$, они различны — два корня.
• $a=4$: подходят все три, $x_2=x_3=4\ne x_1$ — два корня.
• $4<a<\frac{22}{3}$: подходят $x_1$ и $x_3$, они различны — два корня.
• $a=\frac{22}{3}$: подходят $x_1$ и $x_3$, но $x_1=x_3=\frac{2}{3}$; $x_2$ не подходит — один корень.
• $\frac{22}{3}<a<\frac{23}{3}$: подходит только $x_3$ — один корень.
• $a⩾\frac{23}{3}$: ни один кандидат не подходит — корней нет.

Ровно один корень на отрезке $[0;4]$ получается при $\frac{1}{3}<a⩽\frac{2}{3}$ и при $\frac{22}{3}⩽a<\frac{23}{3}$.

Ответ: $a\in \left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right]\cup \left[\frac{22}{3};\frac{23}{3}\right)$.