ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Подмодульные выражения обращаются в нуль при $x=-3$ и $x=3$. Раскроем модули на трёх промежутках и в каждом случае выразим $a$ через $x$.

Случай 1: $x⩾3$. Тогда $|x+3|=x+3$, $|x-3|=x-3$:

$$a(x+3)+(5-a)(x-3)-6=0;ax+3a+5x-15-ax+3a-6=0;6a=21-5x;a=\frac{21-5x}{6}.$$

Случай 2: $-3⩽x<3$. Тогда $|x+3|=x+3$, $|x-3|=3-x$:

$$a(x+3)+(5-a)(3-x)-6=0;ax+3a+15-5x-3a+ax-6=0;x(2a-5)=-9.$$

При $x=0$ получаем $0=-9$ — неверно, поэтому $x=0$ корнем не бывает ни при каком $a$. При $x\ne 0$ разделим на $2x$:

$$a=\frac{5x-9}{2x}=\frac{5}{2}-\frac{9}{2x}.$$

Случай 3: $x<-3$. Тогда $|x+3|=-x-3$, $|x-3|=3-x$:

$$-a(x+3)+(5-a)(3-x)-6=0;-ax-3a+15-5x-3a+ax-6=0;6a=9-5x;a=\frac{9-5x}{6}.$$

Итак, корни уравнения при данном $a$ — это абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой $a=\text{const}$ с графиком

$$a=\{\begin{array}{ll}\frac{9-5x}{6},& x<-3,\\ \frac{5}{2}-\frac{9}{2x},& -3⩽x<3,x\ne 0,\\ \frac{21-5x}{6},& x⩾3.\end{array}$$

Опишем график. Найдём значения в точках стыка. При $x=-3$: $\frac{9+15}{6}=4$ и $\frac{5}{2}+\frac{9}{6}=4$ — куски стыкуются в точке $(-3;4)$. При $x=3$: $\frac{5}{2}-\frac{9}{6}=1$ и $\frac{21-15}{6}=1$ — стык в точке $(3;1)$.

• Левый луч $a=\frac{9-5x}{6}$ убывает; при $x<-3$ он принимает все значения $a>4$, каждое по одному разу.
• Функция $a=\frac{5}{2}-\frac{9}{2x}$ возрастает на каждом из промежутков $[-3;0)$ и $(0;3)$. На $[-3;0)$ она принимает все значения $a⩾4$ (от $4$ до $+\infty$), на $(0;3)$ — все значения $a<1$ (от $-\infty$ до $1$).
• Правый луч $a=\frac{21-5x}{6}$ убывает; при $x⩾3$ он принимает все значения $a⩽1$.

Изобразим график на плоскости $(x;a)$ вместе с граничными прямыми $a=4$ и $a=1$.

Подсчёт корней. Двигаем горизонтальную прямую снизу вверх.

• $a<1$: прямая пересекает ветвь гиперболы на $(0;3)$ и правый луч при $x>3$ — два корня.
• $a=1$: единственная общая точка $(3;1)$ — один корень.
• $1<a<4$: общих точек нет — корней нет.
• $a=4$: единственная общая точка $(-3;4)$ (левый луч значение $4$ не принимает) — один корень.
• $a>4$: прямая пересекает левый луч при $x<-3$ и ветвь гиперболы на $(-3;0)$ — два корня.

Ровно два различных корня получаются при $a<1$ и при $a>4$.

Ответ: $a\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$.