ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Обозначим левую часть $f(x)=\sqrt{a^2+x^2}$, правую $g(x)=\cos 2x+a^2+2a-1$. Обе функции определены при всех $x$ и чётны: $f(-x)=f(x)$, так как $(-x{)}^2=x^2$, и $g(-x)=g(x)$, так как косинус — чётная функция.

Поэтому если $x_0$ — решение уравнения, то и $-x_0$ — решение. При $x_0\ne 0$ это два разных решения. Значит, если решение единственно, то оно равно $0$.

Необходимое условие. Потребуем, чтобы $x=0$ было решением. Учтём, что $\sqrt{a^2}=|a|$ и $\cos 0=1$:

$$\sqrt{a^2}=1+a^2+2a-1;|a|=a^2+2a.$$

Раскроем модуль по определению.

При $a⩾0$ получаем $a=a^2+2a$, то есть $a^2+a=0$, $a(a+1)=0$, откуда $a=0$ или $a=-1$. Условию $a⩾0$ удовлетворяет только $a=0$.

При $a<0$ получаем $-a=a^2+2a$, то есть $a^2+3a=0$, $a(a+3)=0$, откуда $a=0$ или $a=-3$. Условию $a<0$ удовлетворяет только $a=-3$.

Итак, единственное решение возможно только при $a=0$ или $a=-3$. Пока мы знаем лишь, что при этих $a$ число $x=0$ — решение. Проверим, нет ли других решений.

Проверка $a=0$. Уравнение принимает вид

$$|x|=\cos 2x-1,\text{то есть}|x|+1=\cos 2x.$$

Левая часть не меньше $1$, правая не больше $1$. Равенство возможно, только если обе части равны $1$:

$$\{\begin{array}{l}|x|+1=1,\\ \cos 2x=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0,\\ \cos 0=1.\end{array}$$

Решение единственное: $x=0$. Значение $a=0$ подходит.

Проверка $a=-3$. Тогда $a^2+2a-1=9-6-1=2$, и уравнение принимает вид

$$\sqrt{9+x^2}=\cos 2x+2.$$

Так как $x^2⩾0$, левая часть не меньше $\sqrt{9}=3$. Правая часть не больше $1+2=3$. Равенство возможно, только если обе части равны $3$:

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{9+x^2}=3,\\ \cos 2x=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0,\\ \cos 0=1.\end{array}$$

Решение единственное: $x=0$. Значение $a=-3$ подходит.

Ответ: $a\in \{-3;0\}$.