ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Преобразуем первое уравнение. Равенство двух арифметических квадратных корней равносильно равенству подкоренных выражений при условии, что одно из них неотрицательно (тогда неотрицательно и второе):

$$\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{2ay-a^2{y}^2}\iff \{\begin{array}{l}2x-x^2=2ay-a^2{y}^2,\\ 2x-x^2⩾0.\end{array}$$

Выделим полные квадраты: $2x-x^2=1-(x-1{)}^2$ и $2ay-a^2{y}^2=1-(ay-1{)}^2$. Неравенство $2x-x^2⩾0$ означает $x(x-2)⩽0$, то есть $0⩽x⩽2$. Получаем

$$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2=(ay-1{)}^2,\\ 0⩽x⩽2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}|x-1|=|ay-1|,\\ 0⩽x⩽2.\end{array}$$

Модули двух чисел равны, когда числа равны или противоположны. Так как $a>0$, на $a$ можно делить:

$$[\begin{array}{l}x-1=ay-1,\\ x-1=1-ay\end{array}\iff [\begin{array}{l}y=\frac{x}{a},\\ y=\frac{2-x}{a}.\end{array}$$

Итак, исходная система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=\frac{x}{a},\\ y=\frac{2-x}{a},\end{array}\\ y=x^2,\\ 0⩽x⩽2.\end{array}$$

Обозначим $f(x)=\frac{x}{a}$, $g(x)=\frac{2-x}{a}$, $p(x)=x^2$. На плоскости $(x;y)$ нужно найти общие точки дуги параболы $y=p(x)$, $0⩽x⩽2$ (от точки $(0;0)$ до точки $(2;4)$), с прямыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$. Прямая $y=f(x)$ проходит через начало координат, прямая $y=g(x)$ — через точку $(2;0)$; при изменении $a$ они поворачиваются вокруг этих точек. Решение системы однозначно определяется своим $x$ (так как $y=x^2$), поэтому достаточно считать различные значения $x$.

Прямая $y=g(x)$. На концах отрезка $[0;2]$:

$$g(0)=\frac{2}{a}>0=p(0),g(2)=0<4=p(2).$$

На отрезке $[0;2]$ функция $g$ убывает (угловой коэффициент $-\frac{1}{a}<0$), а $p$ возрастает. Значит, разность $g(x)-p(x)$ строго убывает и меняет знак с плюса на минус. Поэтому графики пересекаются ровно в одной точке; обозначим её абсциссу $x_3$, причём $0<x_3<2$. Это верно при любом $a>0$.

Прямая $y=f(x)$. Решим уравнение $p(x)=f(x)$:

$$x^2=\frac{x}{a}\iff x\left(x-\frac{1}{a}\right)=0\iff x_1=0\text{ или }{x}_2=\frac{1}{a}.$$

Корень $x_1=0$ лежит на отрезке при любом $a$. Корень $x_2>0$ лежит на отрезке $[0;2]$, если $\frac{1}{a}⩽2$, то есть $a⩾\frac{1}{2}$. При $a<\frac{1}{2}$ прямая $y=f(x)$ круче прямой $y=2x$ и пересекает дугу только в начале координат. При $a=\frac{1}{2}$ это прямая $y=2x$, она проходит через правый конец дуги $(2;4)$.

Совпадения корней. $x_2\ne x_1$, так как $\frac{1}{a}\ne 0$. $x_3\ne x_1$, так как $g(0)\ne p(0)$. Корни $x_2$ и $x_3$ совпадают, если точка $x=\frac{1}{a}$ лежит и на прямой $y=g(x)$, то есть $\frac{1}{a}=2-\frac{1}{a}$. Отсюда $\frac{2}{a}=2$, $a=1$. При $a=1$ обе прямые $y=x$ и $y=2-x$ проходят через точку $(1;1)$ параболы.

Изобразим дугу параболы и граничные положения прямых: $y=2x$ (при $a=\frac{1}{2}$), $y=x$ и $y=2-x$ (при $a=1$). Прямые рисуем только на полосе $0⩽x⩽2$, где они входят в множество решений первого уравнения.

Подсчёт решений.

• $0<a<\frac{1}{2}$: решения $x_1=0$ и $x_3$ — два.
• $a=\frac{1}{2}$: решения $x_1=0$, $x_2=2$ и $x_3$ — три различных (здесь $x_3<2$).
• $\frac{1}{2}<a<1$ и $a>1$: решения $x_1$, $x_2$, $x_3$ — три различных.
• $a=1$: $x_2=x_3=1$, решения $0$ и $1$ — два.

Ровно три решения получаются при $a⩾\frac{1}{2}$, $a\ne 1$.

Ответ: $a\in \left[\frac{1}{2};1\right)\cup (1;+\infty )$.