ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $t=4x-3|x+a^2|+|x-1|+3a^2$. Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-(a+1)t+4=0.$$

Число решений исходного уравнения зависит от двух вещей: сколько корней $t$ у этого квадратного уравнения и сколько значений $x$ даёт каждый такой корень. Поэтому сначала изучим функцию $t(x)$.

Исследуем замену. Подмодульные выражения обращаются в нуль при $x=-a^2$ и при $x=1$. При любом $a$ верно $-a^2⩽0<1$, поэтому точка $-a^2$ всегда левее точки $1$, и числовая прямая делится на три промежутка.

1. При $x⩽-a^2$ оба подмодульных выражения неположительны: $|x+a^2|=-(x+a^2)$, $|x-1|=1-x$. Получаем

$$t=4x+3(x+a^2)+(1-x)+3a^2=6x+6a^2+1.$$

2. При $-a^2<x<1$ первое выражение положительно, второе отрицательно: $|x+a^2|=x+a^2$, $|x-1|=1-x$. Получаем

$$t=4x-3(x+a^2)+(1-x)+3a^2=1.$$

3. При $x⩾1$ оба выражения неотрицательны:

$$t=4x-3(x+a^2)+(x-1)+3a^2=2x-1.$$

Функция $t(x)$ непрерывна: на левом луче она возрастает от $-\infty$ до $t(-a^2)=1$, на отрезке $[-a^2;1]$ постоянна и равна $1$, на правом луче возрастает от $t(1)=1$ до $+\infty$.

Отсюда видно:

• каждое значение $t<1$ функция принимает ровно один раз — на левом луче, при $x=\frac{t-1}{6}-a^2$;
• каждое значение $t>1$ функция принимает ровно один раз — на правом луче, при $x=\frac{t+1}{2}$;
• значение $t=1$ функция принимает на всём отрезке $[-a^2;1]$, то есть при бесконечно многих $x$.

Условие на корни квадратного уравнения. Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$. Поэтому:

• если $t=1$ — корень квадратного уравнения, то решений бесконечно много;
• если у квадратного уравнения не больше одного корня, то решений не больше одного;
• если у него два различных корня и оба отличны от $1$, то каждый даёт ровно одно $x$, и решений ровно два.

Значит, исходное уравнение имеет ровно два различных решения тогда и только тогда, когда уравнение $t^2-(a+1)t+4=0$ имеет два различных корня, и ни один из них не равен $1$.

Два различных корня. Дискриминант должен быть положителен. Разложим его как разность квадратов:

$$D=(a+1{)}^2-16>0\iff (a+1-4)(a+1+4)>0\iff (a-3)(a+5)>0.$$

Получаем $a<-5$ или $a>3$.

Корень $t=1$ исключаем. Подставим $t=1$ в квадратное уравнение: $1-(a+1)+4=4-a$. Это выражение равно нулю при $a=4$. Значение $a=4$ входит в промежуток $a>3$: при нём корни $t=1$ и $t=4$, и исходное уравнение имеет бесконечно много решений. Поэтому $a\ne 4$.

Объединим условия: $a<-5$ или $a>3$, причём $a\ne 4$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-5)\cup (3;4)\cup (4;+\infty )$.