ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=|x-a^2|+|x+1|$ и обозначим $m=a^2+1$. Так как $4a^2+4=4m$, уравнение примет вид

$$t^2-7t+4m=0.$$

Исследуем замену. Подмодульные выражения обращаются в ноль при $x=-1$ и $x=a^2$, причём $-1<0⩽a^2$. Раскроем модули:

• $x⩽-1$: $t=(a^2-x)+(-x-1)=-2x+a^2-1$ — убывает;
• $-1<x<a^2$: $t=(a^2-x)+(x+1)=a^2+1=m$;
• $x⩾a^2$: $t=(x-a^2)+(x+1)=2x-a^2+1$ — возрастает.

Значит, $t⩾m$ при всех $x$. Значение $t=m$ принимается на всём отрезке $[-1;a^2]$ ненулевой длины — бесконечно много $x$. Каждое значение $t>m$ принимается ровно в двух точках: одна левее $-1$, другая правее $a^2$. Значения $t<m$ не принимаются. Разным $t$ соответствуют разные $x$.

Поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда у уравнения $g(t)=t^2-7t+4m=0$ ровно один корень больше $m$ и ни один корень не равен $m$.

Парабола $g$ направлена ветвями вверх. Подходят два расположения корней.

1) Корни по разные стороны от $m$: $t_1<m<t_2$. Это равносильно условию $g(m)<0$:

$$g(m)=m^2-7m+4m=m^2-3m=m(m-3)<0\iff 0<m<3.$$

Так как $m=a^2+1⩾1$, условие сводится к $a^2+1<3$, то есть $a^2<2$, $-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}$.

2) Двойной корень больше $m$. Нужно $D=49-16m=0$, то есть $m=\frac{49}{16}$. Тогда корень $t_0=\frac{7}{2}=\frac{56}{16}>\frac{49}{16}=m$ — условие выполнено. Из $a^2+1=\frac{49}{16}$ находим $a^2=\frac{33}{16}$, $a=\pm \frac{\sqrt{33}}{4}$. Эти значения не входят в интервал $\left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$, так как $\frac{33}{16}>2$.

Остальные случаи не подходят: при $g(m)=0$ (то есть $m=3$) корнем является $t=m$ и решений бесконечно много; если оба корня больше $m$, решений четыре; если корней больше $m$ нет, решений нет.

Ответ: $a\in \left(-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\cup \left\{-\frac{\sqrt{33}}{4};\frac{\sqrt{33}}{4}\right\}$.