ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Раскроем модуль.

При $x⩾0$ имеем $|x|=x$: $a^2-6a-4ax-5x^2-12x+18x=0$, то есть

$$5x^2+2(2a-3)x-(a^2-6a)=0,x⩾0.(1)$$

При $x<0$ имеем $|x|=-x$: $a^2-6a-4ax-5x^2-12x-18x=0$, то есть

$$5x^2+2(2a+15)x-(a^2-6a)=0,x<0.(2)$$

Исходное уравнение равносильно совокупности (1) и (2). Каждое квадратное уравнение даёт не больше двух корней, а области $x⩾0$ и $x<0$ не пересекаются, поэтому решений не больше четырёх. «Менее четырёх» — это все $a$, кроме тех, при которых решений ровно четыре. Найдём такие $a$: нужно, чтобы (1) имело два различных неотрицательных корня, а (2) — два различных отрицательных корня.

Обозначим $y_1(x)=5x^2+2(2a-3)x-(a^2-6a)$ и $y_2(x)=5x^2+2(2a+15)x-(a^2-6a)$. Обе параболы направлены ветвями вверх.

Два различных корня $⩾0$ у $y_1$. Нужны: $D_1>0$, произведение корней $\frac{y_1(0)}{5}⩾0$ и сумма корней (удвоенная абсцисса вершины) $>0$. Действительно, если произведение равно нулю, то один корень равен $0$, а второй равен сумме и должен быть положителен; если произведение положительно, корни одного знака, и положительная сумма делает их положительными.

• $\frac{D_1}{4}=(2a-3{)}^2+5(a^2-6a)=9a^2-42a+9>0$, то есть $3a^2-14a+3>0$. Корни: $a=\frac{7\pm \sqrt{49-9}}{3}=\frac{7\pm 2\sqrt{10}}{3}$. Получаем $a<\frac{7-2\sqrt{10}}{3}$ или $a>\frac{7+2\sqrt{10}}{3}$.
• Абсцисса вершины $x_{\text{в}}=\frac{3-2a}{5}>0$, то есть $a<\frac{3}{2}$.
• $y_1(0)=-(a^2-6a)=a(6-a)⩾0$, то есть $0⩽a⩽6$.

Два различных отрицательных корня у $y_2$. Нужны: $D_2>0$, произведение $\frac{y_2(0)}{5}>0$ и сумма $<0$.

• $\frac{D_2}{4}=(2a+15{)}^2+5(a^2-6a)=9a^2+30a+225=(3a+5{)}^2+200>0$ при всех $a$.
• Абсцисса вершины $x_{\text{в}}=-\frac{2a+15}{5}<0$, то есть $a>-\frac{15}{2}$.
• $y_2(0)=a(6-a)>0$, то есть $0<a<6$.

Объединим условия. Получаем $0<a<\frac{3}{2}$ и при этом $a<\frac{7-2\sqrt{10}}{3}$ или $a>\frac{7+2\sqrt{10}}{3}$. Сравним числа: $\frac{7-2\sqrt{10}}{3}>0$, так как $2\sqrt{10}=\sqrt{40}<7$; $\frac{7-2\sqrt{10}}{3}<\frac{3}{2}$, так как это равносильно $4\sqrt{10}>5$; $\frac{7+2\sqrt{10}}{3}>\frac{7}{3}>\frac{3}{2}$. Значит, ровно четыре решения уравнение имеет при

$$0<a<\frac{7-2\sqrt{10}}{3}.$$

Проверим концы. При $a=0$ уравнение $-5x^2-12x+18|x|=0$ имеет корни $0$, $\frac{6}{5}$ и $-6$ — их три. При $a=\frac{7-2\sqrt{10}}{3}$ дискриминант $D_1=0$, уравнение (1) даёт один корень, и всего корней три. Оба конца подходят.

Остальные $a$ дают менее четырёх решений.

Ответ: $a\in (-\infty ;0]\cup \left[\frac{7-2\sqrt{10}}{3};+\infty \right)$.