ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $y=|x-a-2|+|x-a+2|$. Уравнение примет вид

$$y^2-ay+a^2-48=0.$$

Исследуем замену. Подмодульные выражения обращаются в ноль при $x=a+2$ и $x=a-2$, причём $a-2<a+2$ при любом $a$. Раскроем модули на трёх промежутках.

• $x⩽a-2$: оба выражения отрицательны или равны нулю, $y=-(x-a-2)-(x-a+2)=-2x+2a$.
• $a-2<x<a+2$: $y=-(x-a-2)+(x-a+2)=4$.
• $x⩾a+2$: $y=(x-a-2)+(x-a+2)=2x-2a$.

График — «корыто»: горизонтальное дно $y=4$ над отрезком $[a-2;a+2]$ и две возрастающие в разные стороны ветви.

Отсюда:

• при $y<4$ значений $x$ нет;
• при $y=4$ подходит весь отрезок $[a-2;a+2]$ — бесконечно много $x$;
• при $y>4$ ровно два значения: $x=a-\frac{y}{2}$ и $x=a+\frac{y}{2}$.

Разным значениям $y$ соответствуют разные $x$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда у уравнения $y^2-ay+a^2-48=0$ ровно один корень больше $4$ и ни один корень не равен $4$ (корни меньше $4$ решений не дают).

Пусть $f(y)=y^2-ay+a^2-48$ — парабола с ветвями вверх. Подходят два расположения корней.

1) Два корня, $y_1<4<y_2$. Для параболы с ветвями вверх это равносильно условию $f(4)<0$: если значение в точке $4$ отрицательно, корни есть по обе стороны от неё.

$$f(4)=16-4a+a^2-48=a^2-4a-32=(a+4)(a-8)<0\iff -4<a<8.$$

2) Один (двойной) корень $y_0>4$. Нужно $D=a^2-4(a^2-48)=192-3a^2=0$, то есть $a^2=64$, $a=\pm 8$. Тогда $y_0=\frac{a}{2}=\pm 4$, и условие $y_0>4$ не выполняется. Этот случай ничего не даёт.

Остальные расположения не подходят: при $f(4)=0$ корнем является $y=4$ и решений бесконечно много, при двух корнях больше $4$ решений четыре, если же корней больше $4$ нет, то решений нет.

Ответ: $a\in (-4;8)$.