ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Необходимое условие. Переменная $x$ входит в систему только в виде $|x|$ и $x^2$, а эти выражения не меняются при замене $x$ на $-x$. Значит, если $(x_0;y_0)$ — решение, то и $(-x_0;y_0)$ — решение. При $x_0\ne 0$ это два разных решения, поэтому единственное решение обязано иметь $x_0=0$.

Подставим $x=0$. Второе уравнение даёт $y^2=1$, то есть $y=\pm 1$. Первое: $5\cdot 2^0+0+7=5y+0+4a$, то есть $5y+4a=12$.

• $y=1$: $4a=7$, $a=\frac{7}{4}$.
• $y=-1$: $4a=17$, $a=\frac{17}{4}$.

При остальных $a$ решений с $x=0$ нет, решения (если есть) идут парами, и единственного решения быть не может. Осталось проверить два найденных значения.

Проверка $a=\frac{7}{4}$. Первое уравнение принимает вид $5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2+7$, то есть

$$5\cdot 2^{|x|}+6\left(|x|-x^2\right)=5y.$$

Из второго уравнения $x^2⩽1$ и $y^2⩽1$, то есть $|x|⩽1$, $|y|⩽1$. Оценим обе части:

• $2^{|x|}⩾2^0=1$, поэтому $5\cdot 2^{|x|}⩾5$;
• $|x|-x^2=|x|(1-|x|)⩾0$, так как $0⩽|x|⩽1$;
• значит, левая часть не меньше $5$, а правая $5y⩽5$.

Равенство возможно только тогда, когда обе части равны $5$: $2^{|x|}=1$, то есть $x=0$, и $y=1$. Пара $(0;1)$ удовлетворяет и второму уравнению. Решение единственно — значение подходит.

Проверка $a=\frac{17}{4}$. Первое уравнение: $5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2+17$. Пара $(0;-1)$ — решение: $5+0+7=12=-5+0+17$. Но пара $(1;0)$ тоже решение: $10+6+7=23=0+6+17$ и $1^2+0^2=1$. По симметрии решение и $(-1;0)$. Решений больше одного — значение не подходит.

Ответ: $a=\frac{7}{4}$.