ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=\sqrt{4x-x^2}$, где $t⩾0$. Тогда ${\left(4x-x^2\right)}^2=t^4$, и уравнение принимает вид

$$t^4-32t=a^2-14a.$$

Какие значения принимает $t$. Из $t^2=4x-x^2=4-(x-2{)}^2$ и $(x-2{)}^2⩾0$ получаем $t^2⩽4$, то есть $0⩽t⩽2$. Обратно, при любом $t\in [0;2]$ уравнение $\sqrt{4x-x^2}=t$ равносильно $(x-2{)}^2=4-t^2$ и имеет корни $x=2\pm \sqrt{4-t^2}$. Значит, исходное уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда уравнение относительно $t$ имеет корень на отрезке $[0;2]$.

Прибавим к обеим частям $49$, чтобы справа получился полный квадрат:

$$t^4-32t+49=(a-7{)}^2.$$

Исследуем функцию $f(t)=t^4-32t+49$ на $[0;2]$. Её производная $f^{\prime }(t)=4t^3-32=4\left(t^3-8\right)$ отрицательна при $0⩽t<2$, поэтому $f$ убывает на отрезке $[0;2]$. Найдём значения на концах:

$$f(0)=49,f(2)=16-64+49=1.$$

Непрерывная убывающая функция принимает на отрезке все значения от $f(2)=1$ до $f(0)=49$, каждое ровно один раз.

При фиксированном $a$ правая часть $(a-7{)}^2$ — число, то есть горизонтальная прямая. Она пересекает график $f$ на $[0;2]$ тогда и только тогда, когда

$$1⩽(a-7{)}^2⩽49\iff 1⩽|a-7|⩽7.$$

Неравенство $|a-7|⩽7$ даёт $0⩽a⩽14$, неравенство $|a-7|⩾1$ — $a⩽6$ или $a⩾8$. Пересекаем.

Ответ: $a\in [0;6]\cup [8;14]$.