ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Первое уравнение. Равенство $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ равносильно системе $A=B$, $B⩾0$ (тогда и $A⩾0$). Получаем

$$\{\begin{array}{l}16-y^2=16-a^2{x}^2,\\ 16-a^2{x}^2⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{y}^2=a^2{x}^2,\\ |ax|⩽4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=ax,\\ y=-ax,\end{array}\\ |ax|⩽4.\end{array}$$

Второе уравнение. Выделим полные квадраты: $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=13$. Это окружность с центром $(3;2)$, проходящая через начало координат.

Случай $y=ax$. Подставим во второе уравнение:

$$x^2+a^2{x}^2=6x+4ax;x((1+a^2)x-(6+4a))=0.$$

Получаем $x=0$ или $x=x_1=\frac{6+4a}{1+a^2}$. Это точки $O(0;0)$ и $P_1(x_1;a{x}_1)$.

Случай $y=-ax$. Аналогично $x((1+a^2)x-(6-4a))=0$, то есть $x=0$ или $x=x_2=\frac{6-4a}{1+a^2}$. Это точки $O$ и $P_2(x_2;-a{x}_2)$.

Условие $|ax|⩽4$. Точка $O$ ему удовлетворяет всегда.

Для $P_1$: $\left|\frac{a(6+4a)}{1+a^2}\right|⩽4$. Так как $1+a^2>0$, это равносильно

$$-4-4a^2⩽6a+4a^2⩽4+4a^2.$$

Левое неравенство $8a^2+6a+4⩾0$ верно при всех $a$: старший коэффициент положителен, а $\frac{D}{4}=9-32<0$. Правое даёт $6a⩽4$, то есть $a⩽\frac{2}{3}$.

Для $P_2$: $-4-4a^2⩽6a-4a^2⩽4+4a^2$. Левое неравенство даёт $6a⩾-4$, то есть $a⩾-\frac{2}{3}$. Правое $8a^2-6a+4⩾0$ верно при всех $a$.

Совпадения точек.

• $P_1=O$ при $x_1=0$, то есть $a=-\frac{3}{2}$ (прямая $y=-\frac{3}{2}x$ касается окружности в точке $O$).
• $P_2=O$ при $x_2=0$, то есть $a=\frac{3}{2}$.
• $P_1=P_2$ требует $x_1=x_2$, то есть $6+4a=6-4a$, $a=0$. При $a=0$ обе точки равны $(6;0)$.

Подсчёт решений.

• $a<-\frac{2}{3}$: подходят $O$ и $P_1$ ($P_2$ не подходит). Решений два, кроме $a=-\frac{3}{2}$, когда $P_1=O$ и решение одно.
• $-\frac{2}{3}⩽a⩽\frac{2}{3}$: подходят все три точки. Они различны, кроме случая $a=0$, когда $P_1=P_2$ и решений два. Значения $\pm \frac{3}{2}$ в этот промежуток не попадают, так что при остальных $a$ решений три.
• $a>\frac{2}{3}$: подходят $O$ и $P_2$. Решений два, кроме $a=\frac{3}{2}$, когда решение одно.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)\cup \left(-\frac{3}{2};-\frac{2}{3}\right)\cup \{0\}\cup \left(\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.