ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Преобразуем первое уравнение. По формуле разности квадратов $x^4-(y+a{)}^4=\left(x^2-(y+a{)}^2\right)\left(x^2+(y+a{)}^2\right)$, а $-0,5a^2{x}^2+0,5a^2(y+a{)}^2=-0,5a^2\left(x^2-(y+a{)}^2\right)$. Вынесем общий множитель:

$$\left(x^2-(y+a{)}^2\right)\left(x^2+(y+a{)}^2-0,5a^2\right)=0.$$

Подставим $y=ax$, тогда $y+a=a(x+1)$:

$$\left(x^2-a^2(x+1{)}^2\right)\left(x^2+a^2(x+1{)}^2-0,5a^2\right)=0.(\ast )$$

По второму уравнению каждому $x$ соответствует ровно одно $y=ax$. Поэтому число решений системы равно числу различных корней уравнения $(\ast )$, и нам нужно ровно четыре корня.

Первый множитель раскладывается как разность квадратов:

$$x^2-a^2(x+1{)}^2=(x-a(x+1)\left)\right(x+a(x+1))=((1-a)x-a\left)\right((1+a)x+a).$$

Второй множитель после раскрытия скобок:

$$q(x)=x^2+a^2{x}^2+2a^{2}x+a^2-0,5a^2=(1+a^2)x^2+2a^{2}x+0,5a^2.$$

Так как $1+a^2>0$, это квадратный трёхчлен при любом $a$, у него не больше двух корней.

Особые значения $a$.

• $a=0$: уравнение $(\ast )$ превращается в $x^2\cdot x^2=0$, корень один — $x=0$. Не подходит.
• $a=1$: первый множитель $(0\cdot x-1)(2x+1)$ обращается в ноль только при $x=-\frac{1}{2}$, второй $q(x)=2x^2+2x+0,5=0,5(2x+1{)}^2$ — тоже только при $x=-\frac{1}{2}$. Корень один. Не подходит.
• $a=-1$: первый множитель $(2x+1)(0\cdot x-1)$ даёт $x=-\frac{1}{2}$, второй — тот же трёхчлен $0,5(2x+1{)}^2$. Корень один. Не подходит.

Пусть $a\ne 0$, $a\ne \pm 1$. Первый множитель даёт два корня

$$x_1=\frac{a}{1-a},x_2=-\frac{a}{1+a}.$$

Они различны: равенство $\frac{a}{1-a}=-\frac{a}{1+a}$ означает $a(1+a)=-a(1-a)$, то есть $2a=0$, а $a\ne 0$.

Найдём четверть дискриминанта трёхчлена $q$:

$$\frac{D}{4}=a^4-(1+a^2)\cdot 0,5a^2=0,5a^2\left(2a^2-1-a^2\right)=0,5a^2(a^2-1).$$

При $0<|a|<1$ дискриминант отрицателен, у $q$ нет корней, и уравнение $(\ast )$ имеет только два корня — не подходит. При $|a|>1$ дискриминант положителен и $q$ имеет два различных корня.

Итак, при $|a|>1$ корней четыре, если ни $x_1$, ни $x_2$ не является корнем $q$. Проверим, когда это нарушается.

$x_1$ — корень $q$. Подставим $x_1=\frac{a}{1-a}$ в $q(x)=0$ и умножим на $\frac{2(1-a{)}^2}{a^2}\ne 0$:

$$\frac{(1+a^2)a^2}{(1-a{)}^2}+\frac{2a^3}{1-a}+\frac{a^2}{2}=0\iff 2(1+a^2)+4a(1-a)+(1-a{)}^2=0.$$

Раскроем скобки: $2+2a^2+4a-4a^2+1-2a+a^2=-a^2+2a+3=-(a-3)(a+1)$. Ноль при $a=3$ или $a=-1$. Среди $|a|>1$ остаётся $a=3$.

$x_2$ — корень $q$. Подставим $x_2=-\frac{a}{1+a}$ и умножим на $\frac{2(1+a{)}^2}{a^2}$:

$$2(1+a^2)-4a(1+a)+(1+a{)}^2=2+2a^2-4a-4a^2+1+2a+a^2=-a^2-2a+3=-(a+3)(a-1).$$

Ноль при $a=-3$ или $a=1$. Среди $|a|>1$ остаётся $a=-3$.

При $a=3$ трёхчлен $q(x)=10x^2+18x+4,5$ имеет корни $-\frac{3}{2}$ и $-\frac{3}{10}$, а $x_1=-\frac{3}{2}$, $x_2=-\frac{3}{4}$: различных корней три. При $a=-3$ трёхчлен $q$ тот же (он зависит от $a^2$), $x_2=-\frac{3}{2}$ совпадает с его корнем, $x_1=-\frac{3}{4}$ — снова три корня. Эти значения не подходят.

Нанесём все условия на одну ось: $|a|>1$, $a\ne \pm 3$.

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup (-3;-1)\cup (1;3)\cup (3;+\infty )$.