ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и тригонометрия

Разбор — 4 балла

Знаменатель ${\sin }^{2}x+a^2+1⩾1>0$ при всех $x$ и $a$. Поэтому умножение обеих частей на него — равносильный переход, знак неравенства сохраняется:

$$a-(a^2-2a-3)\cos x+4<{\sin }^{2}x+a^2+1.$$

Заменим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ и перенесём всё в левую часть:

$$a-(a^2-2a-3)\cos x+4-1+{\cos }^{2}x-a^2-1<0;{\cos }^{2}x-(a^2-2a-3)\cos x-a^2+a+2<0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$. Найдём, какие значения принимает $t$ при $x\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\right]$. На отрезке $\left[-\frac{\pi }{3};0\right]$ косинус возрастает от $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ до $\cos 0=1$, на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ убывает от $1$ до $\cos \frac{\pi }{2}=0$. Так как косинус непрерывен, множество его значений на нашем отрезке — это ровно $[0;1]$.

Значит, множество решений исходного неравенства содержит отрезок $\left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}\right]$ тогда и только тогда, когда неравенство

$$f(t)=t^2-(a^2-2a-3)t-a^2+a+2<0$$

выполнено при всех $t\in [0;1]$.

Графиком $f$ служит парабола с ветвями вверх. На отрезке такая функция принимает наибольшее значение на одном из концов: весь график над отрезком $[0;1]$ лежит не выше хорды, соединяющей точки $(0;f(0))$ и $(1;f(1))$. Поэтому $f(t)<0$ на всём $[0;1]$ тогда и только тогда, когда $f(0)<0$ и $f(1)<0$ (необходимость очевидна: $0$ и $1$ принадлежат отрезку).

Условие $f(0)<0$:

$$-a^2+a+2<0;a^2-a-2>0;(a+1)(a-2)>0.$$

Отсюда $a<-1$ или $a>2$.

Условие $f(1)<0$:

$$1-(a^2-2a-3)-a^2+a+2<0;-2a^2+3a+6<0;2a^2-3a-6>0.$$

Корни трёхчлена $2a^2-3a-6$: $a=\frac{3\pm \sqrt{9+48}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{57}}{4}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому $a<\frac{3-\sqrt{57}}{4}$ или $a>\frac{3+\sqrt{57}}{4}$.

Пересечение условий. Сравним границы. $\frac{3-\sqrt{57}}{4}<-1$, так как это равносильно $\sqrt{57}>7$, то есть $57>49$. $\frac{3+\sqrt{57}}{4}>2$, так как это равносильно $\sqrt{57}>5$. Значит, второе условие сильнее первого, и система выполняется при $a<\frac{3-\sqrt{57}}{4}$ или $a>\frac{3+\sqrt{57}}{4}$.

Ответ: $a\in \left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{57}}{4}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{57}}{4};+\infty \right)$.