ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Область допустимых значений: $x\ne 0$. Сделаем замену $t=x+\frac{4}{x}$. Уравнение примет вид

$$a{t}^2+2t-25a+10=0.$$

Сгруппируем слагаемые с $a$: $a(t^2-25)+2(t+5)=0$. Так как $t^2-25=(t-5)(t+5)$, выносим общий множитель:

$$(t+5)(a(t-5)+2)=0\iff (t+5)(at-5a+2)=0.$$

Сколько корней $x$ даёт значение $t$. Уравнение $x+\frac{4}{x}=t$ при $x\ne 0$ равносильно $x^2-tx+4=0$ (число $x=0$ его корнем не является). Его дискриминант $D=t^2-16$. При $|t|>4$ корней два, при $|t|=4$ — один ($x=\pm 2$), при $|t|<4$ корней нет. Разным значениям $t$ соответствуют разные $x$, так как по $x$ значение $t$ определяется однозначно.

Множитель $t+5$. Значение $t=-5$ даёт уравнение $x^2+5x+4=0$ с корнями $x=-1$ и $x=-4$. Эти два корня есть при любом $a$. Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда второй множитель не добавляет новых корней.

Множитель $at-5a+2$.

1. $a=0$. Множитель равен $2\ne 0$, новых корней нет. Корней ровно два — $a=0$ подходит.

2. $a\ne 0$. Тогда $t=\frac{5a-2}{a}$. Подставим в $x+\frac{4}{x}=t$ и умножим на $ax\ne 0$:

$$a{x}^2-(5a-2)x+4a=0.(1)$$

Новых корней не будет в двух случаях.

а) Уравнение (1) не имеет корней, то есть его дискриминант отрицателен:

$$D=(5a-2{)}^2-16a^2=25a^2-20a+4-16a^2=9a^2-20a+4<0.$$

Корни трёхчлена $9a^2-20a+4$: $a=\frac{20\pm \sqrt{400-144}}{18}=\frac{20\pm 16}{18}$, то есть $a=\frac{2}{9}$ и $a=2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому $D<0$ при $\frac{2}{9}<a<2$.

б) Уравнение (1) имеет корни, но они совпадают с уже найденными, то есть $t=-5$:

$$\frac{5a-2}{a}=-5;5a-2=-5a;a=\frac{1}{5}.$$

При остальных $a\ne 0$ получается $|t|⩾4$ и $t\ne -5$: при $D=0$ ($a=\frac{2}{9}$ или $a=2$, тогда $t=-4$ или $t=4$) добавляется один корень, и всего их три; при $D>0$ добавляются два корня, и всего их четыре. Такие $a$ не подходят.

Заметим, что $\frac{1}{5}<\frac{2}{9}$, поэтому точка $a=\frac{1}{5}$ лежит вне интервала. Объединяем найденные значения.

Ответ: $a\in \left\{0;\frac{1}{5}\right\}\cup \left(\frac{2}{9};2\right)$.