ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение имеет смысл при $x⩾-4$, и из него $y=\sqrt{x+4}⩾0$. Тогда $|y|=y$, и первое уравнение принимает вид $|x|+y=a$. Подставим $y$:

$$|x|+\sqrt{x+4}=a.$$

Обратно, каждый корень $x$ этого уравнения вместе с $y=\sqrt{x+4}$ даёт решение системы, причём разным $x$ соответствуют разные решения. Значит, число решений системы равно числу корней уравнения $h(x)=a$, где $h(x)=|x|+\sqrt{x+4}$, $x⩾-4$.

Посмотрим на это геометрически. При $a>0$ первое уравнение задаёт квадрат с вершинами $A(-a;0)$, $B(0;a)$, $C(a;0)$, $D(0;-a)$: в каждой координатной четверти модули раскрываются, и получаются отрезки прямых $y=x+a$ (сторона $AB$), $y=a-x$ ($BC$), $y=x-a$ ($CD$), $y=-x-a$ ($DA$). График $y=\sqrt{x+4}$ лежит не ниже оси $Ox$, поэтому пересекать он может только верхние стороны $AB$ и $BC$. Граничные положения квадрата:

• I: $a=2$ — вершина $B(0;2)$ лежит на графике, так как $\sqrt{0+4}=2$;
• II: $a=4$ — вершина $A(-4;0)$ совпадает с началом графика;
• III: $a=\frac{17}{4}$ — сторона $AB$ касается графика (найдём это значение ниже).

На рисунке показаны квадраты I и III. Квадрат II почти совпадает с III, поэтому отмечена только точка $(-4;0)$, через которую он проходит.

Теперь строго посчитаем корни уравнения $h(x)=a$.

Правая часть, $x⩾0$. Здесь $h(x)=x+\sqrt{x+4}$ — сумма двух возрастающих функций, она непрерывна и возрастает от $h(0)=2$ до $+\infty$. Значит, при $a⩾2$ на $[0;+\infty )$ ровно один корень, при $a<2$ корней нет. Это пересечения со стороной $BC$.

Левая часть, $-4⩽x<0$. Здесь $h(x)=-x+\sqrt{x+4}$. Сделаем замену $u=\sqrt{x+4}$: когда $x$ пробегает $[-4;0)$, $u$ возрастает и пробегает $[0;2)$, причём каждому $u$ соответствует одно $x=u^2-4$. Тогда

$$h=-(u^2-4)+u=-u^2+u+4=\frac{17}{4}-{\left(u-\frac{1}{2}\right)}^2.$$

Эта функция возрастает на $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ от $4$ до $\frac{17}{4}$ и убывает на $\left[\frac{1}{2};2\right)$ от $\frac{17}{4}$ до $2$ (значение $2$ не достигается). Поэтому на левой части:

• при $2<a<4$ — один корень (на участке убывания);
• при $4⩽a<\frac{17}{4}$ — два корня;
• при $a=\frac{17}{4}$ — один корень: $u=\frac{1}{2}$, то есть $x=-\frac{15}{4}$, $y=\frac{1}{2}$;
• при $a⩽2$ и $a>\frac{17}{4}$ — корней нет.

Значение $a=\frac{17}{4}$ — это положение III: прямая $y=x+a$ проходит через точку $\left(-\frac{15}{4};\frac{1}{2}\right)$ при $a=\frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$ и касается графика.

Сложим количества (корень на правой части $x⩾0$ и корни на левой $x<0$ различны):

• $a<2$ — решений нет;
• $a=2$ — одно решение $x=0$;
• $2<a<4$ — $1+1=2$ решения;
• $4⩽a<\frac{17}{4}$ — $1+2=3$ решения;
• $a=\frac{17}{4}$ — $1+1=2$ решения;
• $a>\frac{17}{4}$ — одно решение.

Ответ: $a\in (2;4)\cup \left\{\frac{17}{4}\right\}$.