ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Заметим, что $x^{10}={\left(x^2\right)}^5$. Перенесём слагаемые с $a$ в правую часть:

$${\left(x^2\right)}^5+x^2=-(a-2|x|{)}^5-(a-2|x|).$$

Так как $(-u{)}^5=-u^5$, правая часть равна $(2|x|-a{)}^5+(2|x|-a)$. Введём функцию $f(t)=t^5+t$. Уравнение принимает вид

$$f\left(x^2\right)=f(2|x|-a).$$

Функция $f$ строго возрастает на всей числовой прямой как сумма двух возрастающих функций $t^5$ и $t$ (или потому, что $f^{\prime }(t)=5t^4+1>0$). Строго возрастающая функция каждое своё значение принимает ровно один раз, поэтому $f(u)=f(v)$ равносильно $u=v$. Значит, исходное уравнение равносильно уравнению

$$x^2=2|x|-a\iff |x{|}^2-2|x|+a=0(\ast )$$

(мы учли, что $x^2=|x{|}^2$).

Сделаем замену $t=|x|$, $t⩾0$:

$$t^2-2t+a=0.(\ast \ast )$$

Каждый положительный корень $t$ даёт два решения $x=\pm t$, корень $t=0$ даёт одно решение $x=0$, отрицательные корни решений не дают. Квадратное уравнение $(\ast \ast )$ имеет не больше двух корней, поэтому уравнение $(\ast )$ имеет не больше четырёх решений. Больше трёх решений — это ровно четыре, и так бывает тогда и только тогда, когда уравнение $(\ast \ast )$ имеет два различных положительных корня.

Для этого нужно, чтобы дискриминант был положителен, а сумма и произведение корней (по теореме Виета) — положительны:

$$\{\begin{array}{l}\frac{D}{4}=1-a>0,\\ t_1+t_2=2>0,\\ t_1{t}_2=a>0\end{array}\iff 0<a<1.$$

Проверим граничные значения. При $a=0$ корни $(\ast \ast )$ равны $0$ и $2$, решения $x=0$, $x=\pm 2$ — их три, мало. При $a=1$ корень $t=1$ двойной, решения $x=\pm 1$ — их два.

Тот же результат виден на графике $a=2|x|-x^2$: горизонтальная прямая пересекает его в четырёх точках только при $0<a<1$.

Ответ: $a\in (0;1)$.