ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Будем считать $a$ второй переменной и изобразим на плоскости $(x;a)$ множество $S$ всех пар $(x;a)$, удовлетворяющих уравнению. При фиксированном $a=a_0$ корни уравнения — это абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой $a=a_0$ с множеством $S$. Нужно найти все $a_0$, при которых таких точек больше двух.

Раскроем модуль.

Случай $7x+a⩾0$, то есть точки на прямой $a=-7x$ и выше неё. Уравнение принимает вид $7x+a=x^2+a^2-x+8a$, то есть

$$x^2-8x+a^2+7a=0.$$

Выделим полные квадраты: $x^2-8x=(x-4{)}^2-16$, $a^2+7a={\left(a+\frac{7}{2}\right)}^2-\frac{49}{4}$. Получаем

$$(x-4{)}^2+{\left(a+\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{113}{4}.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $\left(4;-\frac{7}{2}\right)$ и радиусом $\frac{\sqrt{113}}{2}$. Из неё берём точки, лежащие на прямой $a=-7x$ или выше.

Случай $7x+a<0$ — точки ниже прямой. Уравнение: $-7x-a=x^2+a^2-x+8a$, то есть

$$x^2+6x+a^2+9a=0\iff (x+3{)}^2+{\left(a+\frac{9}{2}\right)}^2=\frac{117}{4}.$$

Это окружность ${\omega }_2$ с центром $\left(-3;-\frac{9}{2}\right)$ и радиусом $\frac{\sqrt{117}}{2}$. Из неё берём точки строго ниже прямой $a=-7x$.

Общие точки окружностей. Вычтем из уравнения $x^2-8x+a^2+7a=0$ уравнение $x^2+6x+a^2+9a=0$: получим $-14x-2a=0$, то есть $a=-7x$. Значит, окружности пересекаются только на прямой $a=-7x$. Подставим $a=-7x$ в первое уравнение:

$$x^2-8x+49x^2-49x=0;50x^2-57x=0;x=0\text{или}x=\frac{57}{50}.$$

Получаем точки $O(0;0)$ и $B\left(\frac{57}{50};-\frac{399}{50}\right)$. На рисунке жирно показано множество $S$, тонко — отброшенные дуги и прямая $a=-7x$, пунктиром — граничные положения горизонтальной прямой.

Теперь посчитаем точки на горизонтальной прямой отдельно для каждой дуги.

Дуга окружности ${\omega }_1$. Решим $x^2-8x+(a^2+7a)=0$ как квадратное уравнение относительно $x$. Его четверть дискриминанта $16-a^2-7a$, корни существуют при $a^2+7a-16⩽0$, то есть при

$$a_1⩽a⩽a_1^{\prime },a_1=\frac{-7-\sqrt{113}}{2},a_1^{\prime }=\frac{-7+\sqrt{113}}{2},$$

и равны $x=4\pm s$, где $s=\sqrt{16-a^2-7a}$. Проверим условие $7x+a⩾0$.

Для правого корня $x=4+s$: $7x+a=28+7s+a⩾28+a>0$, так как $a⩾a_1>\frac{-7-11}{2}=-9$. Правый корень подходит всегда.

Для левого корня $x=4-s$ нужно $28-7s+a⩾0$, то есть $7s⩽28+a$. Обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

$$49(16-a^2-7a)⩽(28+a{)}^2;784-49a^2-343a⩽784+56a+a^2;50a^2+399a⩾0.$$

Отсюда $a(50a+399)⩾0$, то есть $a⩽-\frac{399}{50}$ или $a⩾0$.

Заметим, что $a_1<-\frac{399}{50}$: это равносильно $\sqrt{113}>\frac{399}{25}-7=8,96$, а $8,96^2=80,2816<113$. Кроме того, $a_1^{\prime }>0$. При $a=a_1$ и $a=a_1^{\prime }$ корни совпадают ($s=0$). Итог для ${\omega }_1$: две точки при $a_1<a⩽-\frac{399}{50}$ и при $0⩽a<a_1^{\prime }$; одна точка при $a=a_1$, при $-\frac{399}{50}<a<0$ и при $a=a_1^{\prime }$.

Дуга окружности ${\omega }_2$. Уравнение $x^2+6x+(a^2+9a)=0$ имеет корни при $9-a^2-9a⩾0$, то есть при

$$a_2⩽a⩽a_2^{\prime },a_2=\frac{-9-\sqrt{117}}{2},a_2^{\prime }=\frac{-9+\sqrt{117}}{2},$$

и они равны $x=-3\pm r$, где $r=\sqrt{9-a^2-9a}$. Проверим условие $7x+a<0$.

Для левого корня $x=-3-r$: $7x+a=-21-7r+a⩽-21+a<0$, так как $a⩽a_2^{\prime }<\frac{-9+11}{2}=1$. Левый корень подходит всегда.

Для правого корня $x=-3+r$ нужно $-21+7r+a<0$, то есть $7r<21-a$, где $21-a>0$. Возводим в квадрат:

$$49(9-a^2-9a)<(21-a{)}^2;441-49a^2-441a<441-42a+a^2;50a^2+399a>0.$$

Отсюда $a<-\frac{399}{50}$ или $a>0$. Итог для ${\omega }_2$: две точки при $a_2<a<-\frac{399}{50}$ и при $0<a<a_2^{\prime }$; одна точка при $a=a_2$, при $-\frac{399}{50}⩽a⩽0$ и при $a=a_2^{\prime }$.

Совпадений нет. Точка дуги ${\omega }_1$ удовлетворяет условию $7x+a⩾0$, а точка дуги ${\omega }_2$ — условию $7x+a<0$, поэтому общих точек у дуг нет, и количества просто складываются.

Порядок граничных значений. $a_2<a_1$, так как это равносильно $\sqrt{117}-\sqrt{113}>-2$ (левая часть положительна). $a_2^{\prime }<a_1^{\prime }$, так как $\sqrt{117}-\sqrt{113}=\frac{4}{\sqrt{117}+\sqrt{113}}<2$. Итого

$$a_2<a_1<-\frac{399}{50}<0<a_2^{\prime }<a_1^{\prime }$$

(приближённо $-9,91<-8,82<-7,98<0<0,91<1,82$).

Сложим число точек:

• $a<a_2$ — $0$; $a=a_2$ — $1$; $a_2<a<a_1$ — $2+0=2$;
• $a=a_1$ (прямая через нижнюю точку $A$ окружности ${\omega }_1$) — $2+1=3$;
• $a_1<a<-\frac{399}{50}$ — $2+2=4$;
• $a=-\frac{399}{50}$ (прямая через точку $B$) — $1+2=3$;
• $-\frac{399}{50}<a<0$ — $1+1=2$;
• $a=0$ (прямая через точку $O$) — $1+2=3$: корни $-6$, $0$, $8$;
• $0<a<a_2^{\prime }$ — $2+2=4$;
• $a=a_2^{\prime }$ (прямая через верхнюю точку $D$ окружности ${\omega }_2$) — $1+2=3$;
• $a_2^{\prime }<a<a_1^{\prime }$ — $2$; $a=a_1^{\prime }$ — $1$; $a>a_1^{\prime }$ — $0$.

Больше двух решений получается, когда горизонтальная прямая лежит между положениями $A$ и $B$ или между положениями $O$ и $D$, включая границы.

Ответ: $a\in \left[-\frac{7+\sqrt{113}}{2};-\frac{399}{50}\right]\cup \left[0;\frac{\sqrt{117}-9}{2}\right]$.