ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Второе уравнение. Корень $\sqrt{-x}$ определён при $x⩽0$, и тогда ${\left(\sqrt{-x}\right)}^4={\left({\left(\sqrt{-x}\right)}^2\right)}^2=(-x{)}^2=x^2$. Значит, второе уравнение равносильно системе $y=x^2-5$, $x⩽0$: это левая ветвь параболы $y=x^2-5$ вместе с вершиной $(0;-5)$.

Первое уравнение. При $a>0$ раскроем модули в каждой координатной четверти:

• $x⩾0$, $y⩾0$: $x+y=a$, то есть $y=a-x$;
• $x⩾0$, $y⩽0$: $x-y=a$, то есть $y=x-a$;
• $x⩽0$, $y⩾0$: $-x+y=a$, то есть $y=x+a$;
• $x⩽0$, $y⩽0$: $-x-y=a$, то есть $y=-x-a$.

Получаются четыре отрезка, которые образуют квадрат $ABCD$ с вершинами $A(-a;0)$, $B(0;a)$, $C(a;0)$, $D(0;-a)$.

Ветвь параболы лежит в полуплоскости $x⩽0$, поэтому она может пересекать только стороны $AB$ и $DA$ (точки сторон $BC$ и $CD$ с $x=0$ — это вершины $B$ и $D$, они принадлежат и сторонам $AB$, $DA$):

• сторона $AB$: $y=x+a$, $-a⩽x⩽0$, при этом $y⩾0$;
• сторона $DA$: $y=-x-a$, $-a⩽x⩽0$, при этом $y⩽0$.

Пересечение со стороной $AB$. Нужно $x^2-5=x+a$, $x⩽0$ и $y⩾0$. Условие $y=x^2-5⩾0$ при $x⩽0$ означает $x⩽-\sqrt{5}$. Условие $x⩾-a$ выполнено автоматически, так как $x+a=y⩾0$. Итак, нужно найти корни уравнения

$$a=x^2-x-5,x⩽-\sqrt{5}.$$

Функция $g_1(x)=x^2-x-5$ убывает на $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]$, а значит, и на $\left(-\infty ;-\sqrt{5}\right]$. Она принимает здесь все значения от $+\infty$ до $g_1\left(-\sqrt{5}\right)=5+\sqrt{5}-5=\sqrt{5}$, каждое по одному разу. Значит, сторона $AB$ даёт одну общую точку при $a⩾\sqrt{5}$ и ни одной при $a<\sqrt{5}$.

Пересечение со стороной $DA$. Нужно $x^2-5=-x-a$, $x⩽0$ и $y⩽0$. Условие $y=x^2-5⩽0$ при $x⩽0$ означает $-\sqrt{5}⩽x⩽0$, а условие $x⩾-a$ следует из $y=-x-a⩽0$. Итак, ищем корни уравнения

$$a=5-x-x^2,-\sqrt{5}⩽x⩽0.$$

Выделим полный квадрат: $g_2(x)=5-x-x^2=\frac{21}{4}-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2$. Функция $g_2$ возрастает на $\left[-\sqrt{5};-\frac{1}{2}\right]$ от $g_2\left(-\sqrt{5}\right)=5+\sqrt{5}-5=\sqrt{5}$ до $\frac{21}{4}$ и убывает на $\left[-\frac{1}{2};0\right]$ от $\frac{21}{4}$ до $g_2(0)=5$. Учитывая $\sqrt{5}<5<\frac{21}{4}$, сторона $DA$ даёт:

• при $a<\sqrt{5}$ и при $a>\frac{21}{4}$ — ни одной точки;
• при $\sqrt{5}⩽a<5$ — одну точку (на участке возрастания);
• при $5⩽a<\frac{21}{4}$ — две точки;
• при $a=\frac{21}{4}$ — одну точку $x=-\frac{1}{2}$.

Значение $a=\frac{21}{4}$ — это касание стороны $DA$ с параболой. Это видно и из дискриминанта: уравнение $x^2+x+a-5=0$ имеет один корень при $D=1-4(a-5)=21-4a=0$.

Совпадения. Стороны $AB$ и $DA$ имеют одну общую точку — вершину $A(-a;0)$. Она лежит на параболе, если $0=a^2-5$, то есть при $a=\sqrt{5}$. В этом случае обе стороны дают одну и ту же точку $\left(-\sqrt{5};0\right)$, и её нужно считать один раз.

Получаем три граничных положения квадрата:

• I: $a=\sqrt{5}$ — вершина $A$ лежит на параболе;
• II: $a=5$ — вершина $D(0;-5)$ совпадает с вершиной параболы;
• III: $a=\frac{21}{4}$ — сторона $DA$ касается параболы в точке $\left(-\frac{1}{2};-\frac{19}{4}\right)$.

На рисунке показаны квадраты I и III. Квадрат II почти совпадает с квадратом III, поэтому он не нарисован, отмечена только вершина параболы $(0;-5)$, через которую он проходит.

Сложим число точек на двух сторонах:

• $0<a<\sqrt{5}$: общих точек нет;
• $a=\sqrt{5}$ (положение I): одна точка $\left(-\sqrt{5};0\right)$;
• $\sqrt{5}<a<5$: $1+1=2$ решения;
• $a=5$ (положение II): на $AB$ одна точка, на $DA$ две ($x=0$ и $x=-1$) — три решения;
• $5<a<\frac{21}{4}$: $1+2=3$ решения;
• $a=\frac{21}{4}$ (положение III): $1+1=2$ решения;
• $a>\frac{21}{4}$: одно решение (только на стороне $AB$).

Ровно два решения система имеет при $\sqrt{5}<a<5$ и при $a=\frac{21}{4}$.

Ответ: $a\in \left(\sqrt{5};5\right)\cup \left\{\frac{21}{4}\right\}$.