ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и логарифмы

Разбор — 4 балла

По определению логарифма ${\log }_{x+1}(a+x-6)=2$ означает $(x+1{)}^2=a+x-6$ при условиях: основание $x+1>0$, $x+1\ne 1$, аргумент $a+x-6>0$. Если $a+x-6=(x+1{)}^2$ и $x\ne -1$, то аргумент равен $(x+1{)}^2>0$ автоматически, поэтому условие на аргумент можно не писать. Получаем равносильную систему

$$\{\begin{array}{l}x+1>0,\\ x+1\ne 1,\\ a+x-6=(x+1{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-1,\\ x\ne 0,\\ a=x^2+x+7.\end{array}$$

Нужны корни из промежутка $(-1;1]$, поэтому ищем все $a$, при которых уравнение $a=x^2+x+7$ имеет корень $x\in (-1;0)\cup (0;1]$.

Решим задачу графически на плоскости $(x;a)$. Уравнение $a=x^2+x+7$ задаёт параболу с ветвями вверх. Абсцисса вершины $x_{\text{в}}=-\frac{1}{2}$, ордината

$$a_{\text{в}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+7=\frac{27}{4}.$$

Найдём значения на концах и в выколотой точке: $a(-1)=1-1+7=7$, $a(0)=7$, $a(1)=1+1+7=9$. Нам нужна часть параболы над промежутком $(-1;1]$ без точек $(-1;7)$ и $(0;7)$. При фиксированном $a$ корни — абсциссы точек пересечения горизонтальной прямой на высоте $a$ с этой частью параболы.

![График a = x² + x + 7 на промежутке (−1; 1]](/img/tasks/19-S37X-s1.svg)

Функция $h(x)=x^2+x+7$ убывает на $\left[-1;-\frac{1}{2}\right]$ от $7$ до $\frac{27}{4}$ и возрастает на $\left[-\frac{1}{2};1\right]$ от $\frac{27}{4}$ до $9$.

• На промежутке $(-1;0)$ функция принимает все значения из $\left[\frac{27}{4};7\right)$: наименьшее $\frac{27}{4}$ достигается в вершине, а значение $7$ — только в выколотых точках $x=-1$ и $x=0$.
• На промежутке $(0;1]$ функция возрастает и принимает все значения из $(7;9]$.
• При $a=7$ уравнение $x^2+x+7=7$ равносильно $x(x+1)=0$, его корни $x=0$ и $x=-1$ оба исключены. Корней нет.
• При $a<\frac{27}{4}$ прямая проходит ниже вершины, при $a>9$ — выше всех точек нашей части параболы. Корней нет.

На рисунке пунктиром показаны граничные положения прямой: $a=\frac{27}{4}$ (касание в вершине, подходит), $a=7$ (только выколотые точки, не подходит), $a=9$ (точка $(1;9)$, подходит).

Объединяя, получаем, что корень на $(-1;1]$ есть при $a\in \left[\frac{27}{4};7\right)\cup (7;9]$.

Ответ: $a\in \left[\frac{27}{4};7\right)\cup (7;9]$.