ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы неравенств с параметром

Разбор — 4 балла

Нас интересуют только $x\in [4;5]$. Будем считать $a$ второй переменной и изобразим на плоскости $(x;a)$ множество точек полосы $4⩽x⩽5$, удовлетворяющих системе. Система имеет решение на отрезке $[4;5]$ при данном $a$ тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает это множество.

Преобразуем каждое неравенство при $x\in [4;5]$.

Первое неравенство. Здесь $x-1\in [3;4]$, в частности $x-1>0$. Разделим обе части на положительное число $x-1$, знак неравенства сохранится:

$$a⩾\frac{4}{x-1}.(1)$$

Это точки на ветви гиперболы $a=\frac{4}{x-1}$ и выше неё.

Второе неравенство. Корень определён при $x⩾2$, на отрезке $[4;5]$ это выполнено. Получаем

$$a⩽2\sqrt{x-2}.(2)$$

Это точки на графике $a=2\sqrt{x-2}$ и ниже него.

Третье неравенство. Выразим $a$:

$$a>3x-14.(3)$$

Это точки строго выше прямой $a=3x-14$.

Сравним границы на отрезке $[4;5]$.

• Так как $x-1⩽4$, то $\frac{4}{x-1}⩾1$, причём равенство только при $x=5$. Так как $x⩽5$, то $3x-14⩽1$, равенство тоже только при $x=5$. Значит, при $4⩽x<5$ выполнено $\frac{4}{x-1}>1>3x-14$: прямая лежит ниже гиперболы, и неравенство (3) следует из (1). При $x=5$ гипербола и прямая пересекаются в точке $(5;1)$, и в ней неравенство (3) не выполнено ($15<1+14$ неверно), поэтому эта точка выколота.
• Так как $\frac{4}{x-1}⩽\frac{4}{3}$, а $2\sqrt{x-2}⩾2\sqrt{2}>\frac{4}{3}$, график корня на всём отрезке лежит выше гиперболы.

Итак, в полосе $4⩽x⩽5$ система задаёт множество между гиперболой и графиком корня, включая обе границы, кроме точки $(5;1)$. Для фиксированного $x\in [4;5)$ подходят $a\in \left[\frac{4}{x-1};2\sqrt{x-2}\right]$, а для $x=5$ подходят $a\in (1;2\sqrt{3}]$.

Нижняя граница множества $\frac{4}{x-1}$ убывает от $\frac{4}{3}$ до $1$, верхняя $2\sqrt{x-2}$ возрастает от $2\sqrt{2}$ до $2\sqrt{3}$. Поэтому все значения $a$ из множества заключены между $1$ и $2\sqrt{3}$. Обоснуем это строго.

1. Пусть $1<a⩽2\sqrt{3}$. Возьмём $x=5$: неравенства принимают вид $4a⩾4$, $2\sqrt{3}⩾a$, $15<a+14$, то есть $a⩾1$, $a⩽2\sqrt{3}$, $a>1$ — все выполнены. Значит, такие $a$ подходят.

2. Пусть $a⩽1$. Из (1) получаем $a⩾\frac{4}{x-1}⩾1$, значит, $a=1$ и $\frac{4}{x-1}=1$, то есть $x=5$. Но тогда (3) даёт $15<15$ — неверно. Решений нет.

3. Пусть $a>2\sqrt{3}$. Из (2) получаем $a⩽2\sqrt{x-2}⩽2\sqrt{5-2}=2\sqrt{3}$ — противоречие. Решений нет.

Граничные положения горизонтальной прямой на рисунке — $a=1$ (проходит через выколотую точку, не подходит) и $a=2\sqrt{3}$ (проходит через точку $(5;2\sqrt{3})$, подходит).

Ответ: $a\in \left(1;2\sqrt{3}\right]$.