ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — показательные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Перенесём все слагаемые в левую часть. Так как $-3^x\cdot (16-2^a)=3^x\cdot (2^a-16)$, получаем

$$9^x-3^x\cdot (4^a+4)+3^x\cdot (2^a-16)-(4^a+4)(2^a-16)=0.$$

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$. Тогда $9^x=t^2$, и уравнение принимает вид

$$t^2-(4^a+4)t+(2^a-16)t-(4^a+4)(2^a-16)=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых и вынесем общие множители:

$$t(t-(4^a+4))+(2^a-16)(t-(4^a+4))=0;(t-(4^a+4))(t+2^a-16)=0.$$

Оба множителя определены при всех $x$ и $a$, поэтому произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один множитель. Возвращаясь к $x$, получаем, что исходное уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}{3}^x=4^a+4,\\ 3^x=16-2^a.\end{array}$$

Функция $y=3^x$ строго возрастает и принимает каждое положительное значение ровно один раз. Поэтому уравнение $3^x=c$ имеет ровно один корень при $c>0$ и не имеет корней при $c⩽0$.

Первое уравнение. При любом $a$ выполнено $4^a+4>0$, поэтому оно всегда имеет ровно один корень $x_1={\log }_3(4^a+4)$.

Второе уравнение. Оно имеет корень тогда и только тогда, когда $16-2^a>0$, то есть $2^a<2^4$. Функция $y=2^a$ возрастает, значит, это условие равносильно $a<4$. При $a<4$ корень единственный: $x_2={\log }_3(16-2^a)$.

Разберём случаи.

1. $a⩾4$. Второе уравнение корней не имеет, остаётся один корень $x_1$. Такие $a$ подходят.

2. $a<4$. Корни $x_1$ и $x_2$ есть оба, и решение единственно только тогда, когда они совпадают. Так как $y={\log }_{3}t$ строго возрастает, $x_1=x_2$ равносильно $4^a+4=16-2^a$, то есть

$$4^a+2^a-12=0.$$

Пусть $s=2^a>0$, тогда $4^a=s^2$ и

$$s^2+s-12=0;(s+4)(s-3)=0;s=3\text{или}s=-4.$$

Значение $s=-4$ не подходит, так как $s>0$. Из $2^a=3$ находим $a={\log }_{2}3$. Это значение удовлетворяет условию $a<4$, так как ${\log }_{2}3<{\log }_{2}16=4$. При $a={\log }_{2}3$ оба уравнения превращаются в $3^x=13$, и решение одно: $x={\log }_{3}13$.

При остальных $a<4$ корни $x_1$ и $x_2$ различны, решений два — такие $a$ не подходят.

Ответ: $a\in \{{\log }_{2}3\}\cup [4;+\infty )$.