ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x-y+3⩾0$, то есть $y⩽x+3$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой при этом определён. Поэтому первое уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x-y+3=0,\\ \{\begin{array}{l}y=x^2-5x+3,\\ y⩽x+3.\end{array}\end{array}$$

Первая строка задаёт прямую $\ell$: $y=x+3$. На ней подкоренное выражение равно нулю, так что ОДЗ выполнена.

Во второй системе подставим $y$ в неравенство:

$$x^2-5x+3⩽x+3\iff x^2-6x⩽0\iff 0⩽x⩽6.$$

Значит, вторая система задаёт дугу параболы $y=x^2-5x+3$ от точки $(0;3)$ до точки $(6;9)$. Обе концевые точки лежат на прямой $\ell$. Вершина параболы — точка $\left(\frac{5}{2};-\frac{13}{4}\right)$.

Второе уравнение $y=a(x+1)$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через точку $P(-1;0)$ при любом $a$ (пучок прямых с центром $P$). Решения системы — общие точки этой прямой с объединением прямой $\ell$ и дуги; точку, общую для $\ell$ и дуги, считаем один раз.

Пересечение с прямой ℓ. $a(x+1)=x+3$, то есть $(a-1)x=3-a$. При $a=1$ прямые параллельны (угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью $Oy$ разные) — общих точек нет. При $a\ne 1$ общая точка ровно одна: $x=\frac{3-a}{a-1}$.

Пересечение с дугой. Приравняем: $x^2-5x+3=ax+a$, то есть

$$g(x)=x^2-(5+a)x+3-a=0,x\in [0;6].$$

Найдём нужные величины:

$$D=(5+a{)}^2-4(3-a)=a^2+14a+13=(a+1)(a+13),g(0)=3-a,g(6)=36-6(5+a)+3-a=9-7a,x_{\text{в}}=\frac{5+a}{2}.$$

Два корня на отрезке $[0;6]$ (ветви параболы $y=g(x)$ вверх): дискриминант положителен, вершина внутри отрезка, на концах значения неотрицательны:

$$\{\begin{array}{l}(a+1)(a+13)>0,\\ 0<\frac{5+a}{2}<6,\\ 3-a⩾0,\\ 9-7a⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a<-13\text{или}a>-1,\\ -5<a<7,\\ a⩽3,\\ a⩽\frac{9}{7}\end{array}\iff -1<a⩽\frac{9}{7}.$$

Касание ($D=0$): при $a=-1$ уравнение $x^2-4x+4=0$ даёт $x=2\in [0;6]$ — одна точка $(2;-3)$; при $a=-13$ получаем $x=-4\notin [0;6]$.

Ровно один корень на отрезке при $D>0$ бывает, когда значения на концах разных знаков: $(3-a)(9-7a)<0$, то есть $\frac{9}{7}<a<3$. Кроме того, при $a=3$ имеем $g(x)=x^2-8x$, корни $0$ и $8$ — на отрезке только $x=0$. При $a=\frac{9}{7}$ корни $6$ и $\frac{2}{7}$ — оба на отрезке, этот случай уже учтён выше.

При остальных $a$ общих точек с дугой нет: при $-13<a<-1$ дискриминант отрицателен; при $a<-13$ сумма корней $5+a<0$, а произведение $3-a>0$, так что оба корня отрицательны; при $a>3$ имеем $g(0)<0$ и $g(6)<0$, и отрезок $[0;6]$ лежит между корнями.

Итого дуга даёт: ни одной точки при $a<-1$ и $a>3$; одну точку при $a=-1$ и при $\frac{9}{7}<a⩽3$; две точки при $-1<a⩽\frac{9}{7}$.

Совпадения. Точка прямой $\ell$ может совпасть с точкой дуги только в концах дуги $(0;3)$ и $(6;9)$. Прямая пучка проходит через $(6;9)$ при $9=7a$, то есть $a=\frac{9}{7}$, и через $(0;3)$ при $3=a$.

Граничные положения прямой пучка: касание дуги ($a=-1$), параллельность прямой $\ell$ ($a=1$), проход через $(6;9)$ ($a=\frac{9}{7}$) и через $(0;3)$ ($a=3$).

Подсчёт решений.

1. $a<-1$: одна точка на $\ell$, дуга не пересекается — одно решение.

2. $a=-1$: точка на $\ell$ с абсциссой $x=\frac{4}{-2}=-2$, то есть $(-2;1)$, и точка касания с дугой $(2;-3)$ — два решения. Подходит.

3. $-1<a<\frac{9}{7}$, $a\ne 1$: одна точка на $\ell$ и две на дуге, совпадений нет — три решения.

4. $a=1$: с прямой $\ell$ общих точек нет, на дуге две точки ($x^2-6x+2=0$, $x=3\pm \sqrt{7}$, оба корня на отрезке $[0;6]$) — два решения. Подходит.

5. $a=\frac{9}{7}$: точка на $\ell$ — это $(6;9)$, а дуга даёт точки с абсциссами $6$ и $\frac{2}{7}$. Точка $(6;9)$ общая, поэтому решений два. Подходит.

6. $\frac{9}{7}<a<3$: одна точка на $\ell$ и одна на дуге, причём не в её концах — два решения. Подходит.

7. $a=3$: точка на $\ell$ — это $(0;3)$, и дуга даёт ту же точку $x=0$. Решение одно.

8. $a>3$: одна точка на $\ell$, дуга не пересекается — одно решение.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in \{-1;1\}\cup \left[\frac{9}{7};3\right)$.