ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Пусть $u=2+|x+a|$, $v=3-x^2-2ax-2a^2$ и $f(t)=t^3-t^2$. Тогда уравнение имеет вид

$$f(u)=f(v).$$

Оценим $u$ и $v$. Так как $|x+a|⩾0$, имеем $u⩾2$. Выделим в $v$ полный квадрат:

$$v=3-\left(x^2+2ax+a^2\right)-a^2=3-(x+a{)}^2-a^2.$$

Исследуем функцию $f$ с помощью производной:

$$f^{\prime }(t)=3t^2-2t=t(3t-2).$$

Функция $f$ возрастает на $(-\infty ;0]$, убывает на $\left[0;\frac{2}{3}\right]$ и возрастает на $\left[\frac{2}{3};+\infty \right)$.

Так как $u⩾2$, а на $[2;+\infty )$ функция возрастает, получаем $f(u)⩾f(2)=8-4=4$.

Покажем, что у любого решения $v>1$. При $t⩽1$ имеем $f(t)=t^2(t-1)⩽0$, так как $t^2⩾0$ и $t-1⩽0$. Если бы $v⩽1$, то было бы $f(v)⩽0<4⩽f(u)$, и равенство невозможно.

Итак, оба аргумента $u⩾2$ и $v>1$ лежат в промежутке $(1;+\infty )$, на котором $f$ строго возрастает (он содержится в $\left[\frac{2}{3};+\infty \right)$). Строго возрастающая функция принимает каждое своё значение ровно один раз, поэтому на этом промежутке $f(u)=f(v)\iff u=v$. Обратно, из $u=v$ сразу следует $f(u)=f(v)$. Значит, исходное уравнение равносильно уравнению $u=v$:

$$2+|x+a|=3-(x+a{)}^2-a^2.$$

Обозначим $w=|x+a|⩾0$; тогда $(x+a{)}^2=w^2$, и уравнение принимает вид

$$w^2+w+a^2-1=0.$$

Каждому корню $w⩾0$ соответствуют корни $x=-a\pm w$ исходного уравнения. Поэтому исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда это уравнение имеет неотрицательный корень $w$.

Выделим полный квадрат:

$$w^2+w+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}-a^2\iff {\left(w+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}-a^2.$$

При $w⩾0$ выражение ${\left(w+\frac{1}{2}\right)}^2$ возрастает и принимает все значения из промежутка $\left[\frac{1}{4};+\infty \right)$. Поэтому неотрицательный корень существует тогда и только тогда, когда правая часть не меньше $\frac{1}{4}$:

$$\frac{5}{4}-a^2⩾\frac{1}{4}\iff a^2⩽1\iff (a-1)(a+1)⩽0.$$

Ответ: $a\in [-1;1]$.