ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

$$\frac{2a-x^2+3x}{x-a^2}=0\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-3x-2a=0,\\ x\ne a^2.\end{array}$$

Квадратное уравнение имеет не более двух корней, а условие $x\ne a^2$ может только исключить какой-то из них. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда выполнены два условия: уравнение $x^2-3x-2a=0$ имеет два различных корня и ни один из них не равен $a^2$.

Первое условие. Дискриминант должен быть положительным:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2a)=9+8a>0\iff a>-\frac{9}{8}.$$

Второе условие. Число $a^2$ является корнем, если после подстановки $x=a^2$ получается верное равенство:

$${\left(a^2\right)}^2-3a^2-2a=0\iff a\left(a^3-3a-2\right)=0.$$

Подбором находим корень многочлена $a^3-3a-2$: при $a=-1$ получаем $-1+3-2=0$. Значит, многочлен делится на $a+1$; выполнив деление (уголком или по схеме Горнера), получаем

$$a^3-3a-2=(a+1)\left(a^2-a-2\right)=(a+1)(a+1)(a-2)=(a+1{)}^2(a-2).$$

Итак, $a^4-3a^2-2a=a(a+1{)}^2(a-2)$, и число $a^2$ является корнем квадратного уравнения при $a\in \{-1;0;2\}$. Все три значения лежат в промежутке $\left(-\frac{9}{8};+\infty \right)$, и при каждом из них один из двух корней отбрасывается, остаётся один корень. Проверим: при $a=-1$ корни $1$ и $2$, а $a^2=1$ — остаётся $x=2$; при $a=0$ корни $0$ и $3$, а $a^2=0$ — остаётся $x=3$; при $a=2$ корни $-1$ и $4$, а $a^2=4$ — остаётся $x=-1$.

Исключим эти значения из промежутка $\left(-\frac{9}{8};+\infty \right)$:

Ответ: $a\in \left(-\frac{9}{8};-1\right)\cup (-1;0)\cup (0;2)\cup (2;+\infty )$.