ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

ОДЗ: $x^2-ax+4a⩾0$.

Так как $|x^2-a^2|=|x-a|\cdot |x+a|$, перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $|x+a|$:

$$|x+a|\cdot \left(|x-a|-\sqrt{x^2-ax+4a}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. С учётом ОДЗ получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x=-a,\\ x^2-ax+4a⩾0,\end{array}\\ |x-a|=\sqrt{x^2-ax+4a}.\end{array}$$

Во втором уравнении ограничение ОДЗ уже учтено: корень в правой части должен быть определён.

Корень x = −a. Подставим $x=-a$ в неравенство ОДЗ:

$$a^2+a^2+4a⩾0\iff 2a(a+2)⩾0.$$

Значит, $x=-a$ является корнем при $a⩽-2$ или $a⩾0$.

Второе уравнение. Обе его части неотрицательны, поэтому оно равносильно равенству квадратов. При этом подкоренное выражение окажется равным $(x-a{)}^2⩾0$, так что ОДЗ выполнится автоматически:

$$(x-a{)}^2=x^2-ax+4a\iff x^2-2ax+a^2=x^2-ax+4a\iff ax=a^2-4a.$$

При $a=0$ получаем $0=0$ — равенство верно при всех $x$, и ОДЗ $x^2⩾0$ тоже выполнена при всех $x$. Корней бесконечно много, поэтому $a=0$ не подходит.

При $a\ne 0$ разделим на $a$: $x=a-4$ — ровно один корень.

Совпадение корней. Корни $-a$ и $a-4$ совпадают при $a-4=-a$, то есть при $a=2$.

Подсчёт (при $a\ne 0$).

Если $a⩽-2$: корни $-a$ и $a-4$ различны (они совпадают только при $a=2$) — два корня. Подходит.

Если $-2<a<0$: число $-a$ не входит в ОДЗ, остаётся один корень $a-4$. Не подходит.

Если $a>0$ и $a\ne 2$: два различных корня $-a$ и $a-4$. Подходит.

Если $a=2$: корни совпадают ($x=-2$), корень один. Не подходит.

Ответ: $a\in (-\infty ;-2]\cup (0;2)\cup (2;+\infty )$.