ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$a{x}^4-x^3+\left(a^3-a\right)x^2-\left(a^2-1\right)x-a{x}^3+x^2-\left(a^3-a\right)x+a^2-1=0.$$

Сгруппируем слагаемые парами так, чтобы в каждой паре выделялся множитель $x-1$:

$$\left(a{x}^4-a{x}^3\right)-\left(x^3-x^2\right)+\left(a^3-a\right)\left(x^2-x\right)-\left(a^2-1\right)(x-1)=0,$$

$$a{x}^3(x-1)-x^2(x-1)+\left(a^3-a\right)x(x-1)-\left(a^2-1\right)(x-1)=0.$$

Вынесем $x-1$ за скобку:

$$(x-1)\left(a{x}^3-x^2+\left(a^3-a\right)x-\left(a^2-1\right)\right)=0.$$

Во второй скобке сгруппируем первые два и последние два слагаемых: $a{x}^3-x^2=x^2(ax-1)$, а $\left(a^3-a\right)x-\left(a^2-1\right)=\left(a^2-1\right)(ax-1)$. Поэтому

$$a{x}^3-x^2+\left(a^3-a\right)x-\left(a^2-1\right)=(ax-1)\left(x^2+a^2-1\right),$$

и уравнение принимает вид

$$(x-1)(ax-1)\left(x^2+a^2-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1,\\ ax=1,\\ x^2+a^2=1.\end{array}$$

Решим задачу графически в плоскости $(x;a)$, откладывая $a$ по вертикальной оси. Уравнение $x=1$ задаёт вертикальную прямую. В уравнении $ax=1$ значение $x=0$ невозможно (получилось бы $0=1$), поэтому оно равносильно $a=\frac{1}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях. Уравнение $x^2+a^2=1$ задаёт окружность с центром $(0;0)$ радиуса $1$.

Число корней при данном $a$ равно числу общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с этими линиями; точку, общую для двух линий, считаем один раз. Найдём точки пересечения линий:

• прямая и гипербола: $x=1$, $a=1$, точка $(1;1)$;
• прямая и окружность: $1+a^2=1$, $a=0$, точка $(1;0)$;
• гипербола и окружность: $x^2+\frac{1}{x^2}=1$, но $x^2+\frac{1}{x^2}⩾2$ (сумма положительного числа и обратного ему не меньше $2$), поэтому общих точек нет.

Характерные положения горизонтальной прямой: касание окружности снизу ($a=-1$), ось абсцисс ($a=0$: проходит через точку $(1;0)$ и не пересекает гиперболу) и касание окружности сверху с проходом через точку $(1;1)$ ($a=1$).

Разберём все положения, выписывая корни явно: $x=1$; $x=\frac{1}{a}$ при $a\ne 0$; $x=\pm \sqrt{1-a^2}$ при $|a|⩽1$.

1. $a<-1$. Окружность корней не даёт. Корни $x=1$ и $x=\frac{1}{a}\in (-1;0)$ — два. Подходит.

2. $a=-1$. Корни $x=1$, $x=-1$ и $x=0$ (точка касания с окружностью) — три. Не подходит.

3. $-1<a<0$. Корень $\frac{1}{a}<-1$, корни $\pm \sqrt{1-a^2}$ различны и лежат в интервале $(-1;1)$. Вместе с $x=1$ получаем четыре различных корня. Не подходит.

4. $a=0$. Уравнение $ax=1$ корней не имеет, окружность даёт $x=\pm 1$, прямая — $x=1$. Различных корней два: $-1$ и $1$. Подходит.

5. $0<a<1$. Корень $\frac{1}{a}>1$, корни $\pm \sqrt{1-a^2}$ различны и лежат в интервале $(-1;1)$. Четыре различных корня. Не подходит.

6. $a=1$. Корни $x=1$, $x=\frac{1}{1}=1$ и $x=0$. Различных корней два. Подходит.

7. $a>1$. Окружность корней не даёт. Корни $x=1$ и $x=\frac{1}{a}\in (0;1)$ — два. Подходит.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup \{0\}\cup [1;+\infty )$.