ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Заметим, что $|a^2-16x|=|16x-a^2|$. Обозначим

$$P=|x^2-ax+16|⩾0,Q=|16x-a^2|⩾0.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$P+Q=|P-Q|.$$

Уравнение $|f|=g$ равносильно системе: $g⩾0$ и $f=g$ или $f=-g$. Здесь $f=P-Q$, $g=P+Q$, причём условие $g⩾0$ выполнено всегда как сумма неотрицательных чисел. Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}P-Q=P+Q,\\ P-Q=-(P+Q)\end{array}\iff [\begin{array}{l}2Q=0,\\ 2P=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2-ax+16=0,(1)\\ 16x-a^2=0.(2)\end{array}$$

Уравнение $(2)$ при любом $a$ имеет ровно один корень $x_0=\frac{a^2}{16}$. Значит, у исходного уравнения всегда есть хотя бы один корень, и он единственный тогда и только тогда, когда уравнение $(1)$ не даёт корней, отличных от $x_0$.

Для уравнения $(1)$ дискриминант равен $D=a^2-64=(a-8)(a+8)$.

При $-8<a<8$ имеем $D<0$, уравнение $(1)$ корней не имеет, и у исходного уравнения единственный корень $x_0$. Подходит.

При $a<-8$ или $a>8$ имеем $D>0$, уравнение $(1)$ имеет два различных корня. Хотя бы один из них отличен от $x_0$, поэтому всего корней не меньше двух. Не подходит.

При $a=8$ уравнение $(1)$ принимает вид $x^2-8x+16=(x-4{)}^2=0$, его корень $x=4$. Корень уравнения $(2)$: $x_0=\frac{64}{16}=4$. Корни совпадают — у исходного уравнения ровно один корень. Подходит.

При $a=-8$ уравнение $(1)$ принимает вид $x^2+8x+16=(x+4{)}^2=0$, его корень $x=-4$, а $x_0=\frac{64}{16}=4$. Корней два. Не подходит.

Ответ: $a\in (-8;8]$.