Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором
Обозначим . Уравнение принимает вид
Каждый корень этого квадратного уравнения даёт столько решений исходного уравнения, сколько корней имеет уравнение . Поэтому сначала исследуем функцию .
Нули подмодульных выражений: и . Сравним их:
Рассмотрим три случая расположения этих точек.
Случай . Тогда .
При оба подмодульных выражения неположительны:
При имеем и :
При оба выражения неотрицательны:
Случай . Тогда .
При : .
При имеем и :
При : .
Случай . Точки совпадают: , и
При получаем , при — .
Вывод о функции g. Во всех случаях непрерывна, равна на левом луче до меньшей из точек и , а правее строго возрастает (угловые коэффициенты , , положительны) и неограниченно растёт. Этот вывод виден и без разбора случаев: так как , можно записать
а каждое выражение вида равно при и при .
Поэтому уравнение при корней не имеет, при имеет бесконечно много корней (весь левый луч), а при имеет ровно один корень.
Значит, исходное уравнение имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет два различных корня и оба они больше . Действительно, если корень один или корней нет, решений не больше одного; если один из корней равен , решений бесконечно много; если один корень меньше , а другой больше, решение одно.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому оба корня больше тогда и только тогда, когда дискриминант положителен, и вершина лежит правее :
Первое условие:
Второе условие:
Корни трёхчлена : . Неравенство выполнено при или .
Третье условие: , то есть .
Пересечём условия. Так как , из второго и третьего условий остаётся . Сравним с : так как , имеем , а , то есть . Значит, , и решение системы:
Ответ: .