ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Равенство двух арифметических квадратных корней $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ равносильно системе $A=B$, $A⩾0$: тогда и $B=A⩾0$, так что оба корня определены. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+6x+8=x+a,\\ x^2+6x+8⩾0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+5x+8-a=0,\\ (x+2)(x+4)⩾0.\end{array}$$

Неравенство выполнено при $x\in (-\infty ;-4]\cup [-2;+\infty )$; обозначим это множество $U$. Корни исходного уравнения — это корни уравнения $f(x)=0$, где $f(x)=x^2+5x+8-a$, лежащие в $U$.

Парабола $y=f(x)$ имеет ветви вверх и вершину с абсциссой $x_0=-\frac{5}{2}$. Число $x_0$ лежит в интервале $(-4;-2)$, то есть $x_0\notin U$.

Дискриминант уравнения $f(x)=0$ равен $D=25-4(8-a)=4a-7$.

При $D<0$ корней нет. При $D=0$ единственный корень $x=x_0\notin U$, и исходное уравнение корней не имеет. Поэтому рассматриваем только $D>0$, то есть $a>\frac{7}{4}$. Тогда корни расположены по разные стороны от вершины: $x_1<-\frac{5}{2}<x_2$.

Корень $x_1<-\frac{5}{2}$ всегда отрицателен, и в множество $U$ он может попасть только через часть $(-\infty ;-4]$. Корень $x_2>-\frac{5}{2}$ может попасть в $U$ только через часть $[-2;+\infty )$.

Положение числа $p$ относительно корней определяется знаком $f(p)$: так как ветви направлены вверх, $f(p)⩽0$ тогда и только тогда, когда $x_1⩽p⩽x_2$. Запишем нужные условия.

$x_1\in U\iff x_1⩽-4$. Число $-4$ лежит левее вершины, поэтому $x_1⩽-4$ означает, что $-4$ находится между корнями (или совпадает с $x_1$), то есть $f(-4)⩽0$:

$$f(-4)=16-20+8-a=4-a⩽0\iff a⩾4.$$

$x_2\in U\iff x_2⩾-2$. Число $-2$ лежит правее вершины, поэтому это условие равносильно $f(-2)⩽0$:

$$f(-2)=4-10+8-a=2-a⩽0\iff a⩾2.$$

$x_2<0$. Число $0$ лежит правее вершины, и $x_2<0$ означает, что $0$ правее обоих корней, то есть $f(0)>0$:

$$f(0)=8-a>0\iff a<8.$$

Заметим, что при $a⩾2$ условие $D>0$ выполнено автоматически.

Нам нужно, чтобы корни были и ровно один из них был отрицательным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x_1\notin U$, то есть $a<4$. Тогда корнем исходного уравнения может быть только $x_2$. Он должен лежать в $U$ и быть отрицательным, то есть $x_2\in [-2;0)$:

$$\{\begin{array}{l}a<4,\\ a⩾2,\\ a<8\end{array}\iff 2⩽a<4.$$

Случай 2: $x_1\in U$, то есть $a⩾4$. Тогда $x_1$ — отрицательный корень исходного уравнения. Так как $a⩾4>2$, корень $x_2$ тоже лежит в $U$. Чтобы отрицательный корень был ровно один, $x_2$ не должен быть отрицательным: $x_2⩾0$, то есть $f(0)⩽0$, $a⩾8$.

$$\{\begin{array}{l}a⩾4,\\ a⩾8\end{array}\iff a⩾8.$$

При $4⩽a<8$ оба корня лежат в $U$ и оба отрицательны — это не подходит.

Проверим граничные значения. При $a=2$: $x^2+5x+6=0$, корни $-3$ и $-2$; число $-3\notin U$, а $-2\in U$ — один корень, и он отрицателен. При $a=8$: $x^2+5x=0$, корни $-5$ и $0$, оба в $U$; отрицательный только $-5$.

Объединим оба случая:

Ответ: $a\in [2;4)\cup [8;+\infty )$.