ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Обозначим $g(x)=4x+|x-a|-|3x+1|$. Уравнение принимает вид

$$t^2-(a+1)t+1=0,t=g(x).$$

Каждый корень $t_0$ квадратного уравнения даёт столько корней исходного уравнения, сколько решений имеет уравнение $g(x)=t_0$. Поэтому сначала исследуем функцию $g$.

Исследование функции g. Модули меняют раскрытие в точках $x=a$ и $x=-\frac{1}{3}$. На каждом участке между ними функция $g$ линейна, а её угловой коэффициент равен $4\pm 1\mp 3$ в зависимости от знаков подмодульных выражений:

• $x-a⩾0$ и $3x+1⩾0$: коэффициент $4+1-3=2$;
• $x-a<0$ и $3x+1<0$: коэффициент $4-1+3=6$;
• $x-a⩾0$ и $3x+1<0$ (такие $x$ есть при $a<-\frac{1}{3}$): коэффициент $4+1+3=8$;
• $x-a<0$ и $3x+1⩾0$ (такие $x$ есть при $a>-\frac{1}{3}$): коэффициент $4-1-3=0$.

Случай 1: $a⩽-\frac{1}{3}$. Участка с нулевым наклоном нет, на всех участках угловой коэффициент положителен ($2$, $6$ или $8$). Непрерывная функция $g$ строго возрастает, при $x\to -\infty$ стремится к $-\infty$, а при $x\to +\infty$ — к $+\infty$. Значит, каждое значение $t$ она принимает ровно один раз, и число корней исходного уравнения равно числу различных корней квадратного уравнения.

Нужно, чтобы квадратное уравнение имело два различных корня:

$$D=(a+1{)}^2-4>0\iff |a+1|>2\iff a<-3\text{или}a>1.$$

С учётом $a⩽-\frac{1}{3}$ получаем $a<-3$.

Случай 2: $a>-\frac{1}{3}$. На отрезке $\left[-\frac{1}{3};a\right]$ функция $g$ постоянна. Её значение найдём в точке $x=a$, где $3a+1>0$:

$$g(a)=4a+0-(3a+1)=a-1.$$

На луче $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right]$ функция возрастает (наклон $6$) от $-\infty$ до $a-1$, на луче $[a;+\infty )$ — возрастает (наклон $2$) от $a-1$ до $+\infty$.

Отсюда уравнение $g(x)=t_0$ при $t_0<a-1$ имеет ровно один корень (на левом луче), при $t_0>a-1$ — ровно один корень (на правом луче), а при $t_0=a-1$ — бесконечно много корней (весь отрезок $\left[-\frac{1}{3};a\right]$).

Поэтому исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет два различных корня и ни один из них не равен $a-1$. Действительно, если один из корней равен $a-1$, корней бесконечно много; если $D=0$, корень не больше одного или их бесконечно много; если $D<0$, корней нет.

Два различных корня: $a<-3$ или $a>1$; с учётом $a>-\frac{1}{3}$ остаётся $a>1$.

Проверим, когда $t=a-1$ является корнем. Подставим:

$$(a-1{)}^2-(a+1)(a-1)+1=(a-1)((a-1)-(a+1))+1=-2(a-1)+1=3-2a.$$

Это выражение равно нулю при $a=\frac{3}{2}$, поэтому значение $a=\frac{3}{2}$ исключаем.

Итог. Объединяем $a<-3$ из первого случая и $a>1$, $a\ne \frac{3}{2}$ из второго:

Ответ: $a\in (-\infty ;-3)\cup \left(1;\frac{3}{2}\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.