ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Перенесём слагаемые первого уравнения в левую часть и выделим полные квадраты:

$$x^2-6x+y^2-8y=-9\iff (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=-9+9+16=16.$$

Это окружность ${\omega }_1$ с центром $O_1(3;4)$ и радиусом $R=4$.

Второе уравнение $x^2+y^2=a^2$ при $a\ne 0$ задаёт окружность ${\omega }_2$ с центром $O(0;0)$ и радиусом $r=|a|$. При $a=0$ оно задаёт одну точку $O(0;0)$, которая не лежит на первой окружности: $(0-3{)}^2+(0-4{)}^2=25\ne 16$. Поэтому при $a=0$ решений нет.

Решения системы — общие точки двух окружностей. При изменении $a$ окружность ${\omega }_2$ меняет радиус, а её центр остаётся в начале координат.

Расстояние между центрами $O{O}_1=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Две окружности имеют ровно две общие точки тогда и только тогда, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов и больше модуля их разности:

$$|R-r|<O{O}_1<R+r\iff |4-|a||<5<4+|a|.$$

Граничные положения — касания окружностей. Внешнее касание: $r+R=5$, то есть $|a|=1$; точка касания лежит на отрезке $O{O}_1$. Внутреннее касание, когда ${\omega }_1$ лежит внутри ${\omega }_2$: $r-R=5$, то есть $|a|=9$; точка касания лежит на продолжении отрезка $O{O}_1$ за точку $O_1$. Случай $R-r=5$ невозможен, так как тогда $r=-1$.

При $0<|a|<1$ окружность ${\omega }_2$ слишком мала и лежит вне ${\omega }_1$, а при $|a|>9$ она слишком велика и ${\omega }_1$ лежит внутри неё — общих точек нет. Между этими положениями, например при $|a|=5$ (тонкая окружность на рисунке), общих точек ровно две.

Решим двойное неравенство аналитически. Правая часть: $4+|a|>5$, то есть $|a|>1$. Левая часть: $-5<4-|a|<5$, то есть $-1<|a|<9$; с учётом $|a|⩾0$ это $|a|<9$. Итак, $1<|a|<9$:

Ответ: $a\in (-9;-1)\cup (1;9)$.