ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — системы уравнений с параметром

Разбор — 4 балла

Преобразуем первое уравнение. Сгруппируем слагаемые:

$$\left((x+a{)}^4-y^4\right)-0,5a^2\left((x+a{)}^2-y^2\right)=0.$$

По формуле разности квадратов $(x+a{)}^4-y^4=\left((x+a{)}^2-y^2\right)\left((x+a{)}^2+y^2\right)$. Вынесем общий множитель:

$$\left((x+a{)}^2-y^2\right)\left((x+a{)}^2+y^2-0,5a^2\right)=0.$$

Из второго уравнения $y=ax+\frac{a}{2}$, то есть каждому $x$ соответствует ровно одно $y$. Поэтому число решений системы равно числу различных корней уравнения относительно $x$, которое получится после подстановки $y$ в первое уравнение. Нужно, чтобы этих корней было ровно четыре.

Первый множитель. По формуле разности квадратов

$$(x+a{)}^2-{\left(ax+\frac{a}{2}\right)}^2=\left(x+a-ax-\frac{a}{2}\right)\left(x+a+ax+\frac{a}{2}\right)=\left((1-a)x+\frac{a}{2}\right)\left((1+a)x+\frac{3a}{2}\right).$$

При $a=1$ первая скобка равна $\frac{1}{2}\ne 0$, и множитель имеет единственный корень $x=-\frac{3}{4}$. Второй множитель (он разобран ниже) даёт не более двух корней, поэтому всего корней не больше трёх. Значение $a=1$ не подходит.

При $a>0$, $a\ne 1$ первый множитель имеет корни

$$x_1=\frac{a}{2(a-1)},x_2=-\frac{3a}{2(a+1)}.$$

Они совпадают, если $\frac{a}{2(a-1)}=-\frac{3a}{2(a+1)}$. Сократим на $\frac{a}{2}\ne 0$:

$$\frac{1}{a-1}=-\frac{3}{a+1}\iff a+1=-3a+3\iff a=\frac{1}{2}.$$

При $a=\frac{1}{2}$ первый множитель даёт один корень, и всего корней не больше трёх. Значение $a=\frac{1}{2}$ не подходит.

Второй множитель. Раскроем скобки:

$$(x+a{)}^2+{\left(ax+\frac{a}{2}\right)}^2-\frac{a^2}{2}=x^2+2ax+a^2+a^2{x}^2+a^{2}x+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\left(a^2+1\right)x^2+\left(a^2+2a\right)x+\frac{3a^2}{4}.$$

Старший коэффициент $a^2+1>0$, так что это квадратный трёхчлен при любом $a$. Он имеет два различных корня, когда дискриминант положителен:

$$D={\left(a^2+2a\right)}^2-4\left(a^2+1\right)\cdot \frac{3a^2}{4}=a^4+4a^3+4a^2-3a^4-3a^2=a^2\left(-2a^2+4a+1\right).$$

При $a>0$ множитель $a^2$ положителен, поэтому $D>0\iff 2a^2-4a-1<0$. Корни трёхчлена $2a^2-4a-1$:

$$a=\frac{4\pm \sqrt{16+8}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Неравенство выполнено между корнями. Так как $1-\frac{\sqrt{6}}{2}<0$, с учётом $a>0$ получаем

$$0<a<1+\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Общие корни множителей. Осталось исключить значения $a$, при которых корень первого множителя является и корнем второго: тогда два корня сливаются в один.

В точке $x_1$ обращается в нуль первая скобка, то есть $a{x}_1+\frac{a}{2}=x_1+a$. Значит, при $x=x_1$ второй множитель равен $(x_1+a{)}^2+(x_1+a{)}^2-\frac{a^2}{2}=2(x_1+a{)}^2-\frac{a^2}{2}$, и он равен нулю при $x_1+a=\pm \frac{a}{2}$. Найдём

$$x_1+a=\frac{a}{2(a-1)}+a=\frac{a+2a^2-2a}{2(a-1)}=\frac{a(2a-1)}{2(a-1)}.$$

Условие $x_1+a=\pm \frac{a}{2}$ после сокращения на $\frac{a}{2}$ принимает вид $\frac{2a-1}{a-1}=\pm 1$. Знак «плюс»: $2a-1=a-1$, $a=0$ — противоречит условию $a>0$. Знак «минус»: $2a-1=1-a$, $a=\frac{2}{3}$. Значит, $a=\frac{2}{3}$ нужно исключить.

В точке $x_2$ обращается в нуль вторая скобка, то есть $a{x}_2+\frac{a}{2}=-(x_2+a)$. Второй множитель снова равен $2(x_2+a{)}^2-\frac{a^2}{2}$. Найдём

$$x_2+a=-\frac{3a}{2(a+1)}+a=\frac{-3a+2a^2+2a}{2(a+1)}=\frac{a(2a-1)}{2(a+1)}.$$

Условие $\frac{2a-1}{a+1}=\pm 1$: знак «плюс» даёт $2a-1=a+1$, $a=2$; знак «минус» даёт $2a-1=-a-1$, $a=0$ — не подходит. Значит, нужно исключить $a=2$.

Итог. Четыре различных корня получаются тогда и только тогда, когда первый множитель даёт два различных корня ($a\ne 1$, $a\ne \frac{1}{2}$), второй — тоже два различных корня ($0<a<1+\frac{\sqrt{6}}{2}$), и общих корней у них нет ($a\ne \frac{2}{3}$, $a\ne 2$). Все исключаемые значения лежат внутри промежутка $\left(0;1+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$: например, $2<1+\frac{\sqrt{6}}{2}$, так как $\sqrt{6}>2$.

Ответ: $a\in \left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3};1\right)\cup (1;2)\cup \left(2;1+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$.