ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Знаменатель $\sqrt{x+3}$ определён и не равен нулю при $x+3>0$, то есть при $x>-3$.

Разложим числитель группировкой:

$$x{y}^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3).$$

Значит, первое уравнение системы равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}y=3,\\ xy=3,\end{array}\\ x>-3.\end{array}$$

Решим задачу графически в плоскости $(x;y)$.

Уравнение $y=3$ задаёт горизонтальную прямую. С учётом $x>-3$ от неё остаётся луч, начало которого $A(-3;3)$ выколото.

В уравнении $xy=3$ значение $x=0$ невозможно (получилось бы $0=3$), поэтому оно равносильно $y=\frac{3}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях. С учётом $x>-3$ от левой ветви остаётся часть правее точки $C(-3;-1)$, сама точка $C$ выколота.

Луч и гипербола пересекаются в точке $B$: $\frac{3}{x}=3$, $x=1$, то есть $B(1;3)$.

Второе уравнение $y=ax$ задаёт прямую, проходящую через начало координат, с угловым коэффициентом $a$. При увеличении $a$ эта прямая поворачивается вокруг точки $O(0;0)$ против часовой стрелки. Число решений системы равно числу общих точек этой прямой с построенным множеством.

Граничные положения прямой: через выколотую точку $A$ ($3=-3a$, $a=-1$), совпадение с осью $Ox$ ($a=0$), через выколотую точку $C$ ($-1=-3a$, $a=\frac{1}{3}$) и через точку $B$ ($3=a\cdot 1$, $a=3$).

Подтвердим картинку вычислениями: подставим $y=ax$ в каждое из уравнений.

Пересечение с лучом. $ax=3$. При $a=0$ решений нет. При $a\ne 0$ получаем $x=\frac{3}{a}$, и нужно $\frac{3}{a}>-3$. При $a>0$ это верно. При $a<0$ умножим неравенство на отрицательное число $a$ со сменой знака: $3<-3a$, то есть $a<-1$. Итак, луч даёт одну точку при $a<-1$ и при $a>0$, а при $-1⩽a⩽0$ — ни одной.

Пересечение с гиперболой. $x\cdot ax=3$, то есть $a{x}^2=3$. При $a⩽0$ решений нет. При $a>0$ получаем $x=\pm \sqrt{\frac{3}{a}}$. Положительный корень условию $x>-3$ удовлетворяет всегда. Для отрицательного:

$$-\sqrt{\frac{3}{a}}>-3\iff \sqrt{\frac{3}{a}}<3\iff \frac{3}{a}<9\iff a>\frac{1}{3}.$$

Итак, гипербола даёт одну точку при $0<a⩽\frac{1}{3}$ и две точки при $a>\frac{1}{3}$.

Совпадения. Точка луча может совпасть с точкой гиперболы только в их общей точке $B(1;3)$, то есть при $a=3$.

Подсчёт решений.

1. $a<-1$: одна точка на луче, с гиперболой общих точек нет — одно решение.

2. $-1⩽a⩽0$: решений нет. При $a=-1$ прямая проходит через выколотую точку $A$, при $a=0$ совпадает с осью абсцисс.

3. $0<a⩽\frac{1}{3}$: одна точка на луче и одна на правой ветви гиперболы — два решения. Подходит. При $a=\frac{1}{3}$ прямая проходит через выколотую точку $C$, поэтому левая ветвь решения не добавляет.

4. $\frac{1}{3}<a<3$ и $a>3$: одна точка на луче и две на гиперболе, совпадений нет — три решения.

5. $a=3$: луч даёт $x=1$, гипербола — $x=\pm 1$; точка $x=1$ общая. Решения $(1;3)$ и $(-1;-3)$ — их два. Подходит.

Ответ: $a\in \left(0;\frac{1}{3}\right]\cup \{3\}$.