ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Перенесём все слагаемые в левую часть. Обозначим $P(x)=x^3-7x^2+14x-8$ и заметим, что

$$x^4-7x^3+14x^2-8x=x\cdot P(x),5x^3-35x^2+70x-40=5\cdot P(x).$$

Тогда уравнение записывается так:

$$x\cdot P(x)+ax(x-1)-5P(x)-5a(x-1)=0.$$

Сгруппируем слагаемые с $P(x)$ и слагаемые с $a$:

$$(x-5)P(x)+a(x-1)(x-5)=0\iff (x-5)(P(x)+a(x-1))=0.$$

Разложим $P(x)$. Сумма его коэффициентов $1-7+14-8=0$, значит, $x=1$ — корень, и многочлен делится на $x-1$:

$$x^3-7x^2+14x-8=(x-1)\left(x^2-6x+8\right).$$

Подставим это разложение и вынесем общий множитель $x-1$:

$$(x-5)((x-1)\left(x^2-6x+8\right)+a(x-1))=0\iff (x-1)(x-5)\left(x^2-6x+8+a\right)=0.$$

Уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=1,\\ x=5,\\ a=-x^2+6x-8.\end{array}$$

Решим задачу графически в плоскости $(x;a)$. Первые два уравнения задают вертикальные прямые, третье — параболу с ветвями вниз. Найдём её вершину:

$$x_{\text{в}}=\frac{-6}{2\cdot (-1)}=3,a_{\text{в}}=-9+18-8=1,$$

то есть парабола имеет вид $a=1-(x-3{)}^2$.

Найдём общие точки прямых с параболой: при $x=1$ получаем $a=-1+6-8=-3$, при $x=5$ получаем $a=-25+30-8=-3$. Это точки $(1;-3)$ и $(5;-3)$.

Число корней при данном $a$ равно числу общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с построенным множеством (общую точку двух линий считаем один раз). Характерные положения прямой: через вершину параболы ($a=1$) и через точки $(1;-3)$ и $(5;-3)$ ($a=-3$).

Разберём все положения. Корни, которые даёт парабола, найдём из $(x-3{)}^2=1-a$: это $x=3\pm \sqrt{1-a}$ при $a⩽1$.

1. $a>1$. Парабола корней не даёт, остаются $x=1$ и $x=5$ — два корня. Подходит.

2. $a=1$. Добавляется корень $x=3$ (вершина параболы) — три корня. Не подходит.

3. $-3<a<1$. Тогда $0<1-a<4$, то есть $0<\sqrt{1-a}<2$. Корни $3\pm \sqrt{1-a}$ различны и лежат в интервале $(1;5)$, поэтому не совпадают с $1$ и $5$. Всего четыре корня — не подходит.

4. $a=-3$. Корни параболы $3\pm 2$, то есть $1$ и $5$, совпадают с корнями $x=1$ и $x=5$. Различных корней два. Подходит.

5. $a<-3$. Тогда $\sqrt{1-a}>2$, и корни параболы различны и лежат вне отрезка $[1;5]$. Вместе с $x=1$ и $x=5$ получаем четыре корня — не подходит.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in \{-3\}\cup (1;+\infty )$.