ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — иррациональные уравнения с параметром

Разбор — 4 балла

Уравнение вида $\sqrt{f}=g$ равносильно системе $g⩾0$, $f=g^2$: при $g⩾0$ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное уравнение. Условие $f⩾0$ отдельно писать не нужно — оно следует из равенства $f=g^2$.

$$\{\begin{array}{l}15x^2+6ax+9={\left(x^2+ax+3\right)}^2,\\ x^2+ax+3⩾0.\end{array}$$

Раскроем квадрат трёхчлена:

$${\left(x^2+ax+3\right)}^2=x^4+2a{x}^3+\left(a^2+6\right)x^2+6ax+9.$$

Подставим в уравнение и перенесём всё в одну часть. Слагаемые $6ax$ и $9$ сократятся:

$$x^4+2a{x}^3+\left(a^2-9\right)x^2=0\iff x^2\left(x^2+2ax+a^2-9\right)=0.$$

Во второй скобке выделим полный квадрат и применим формулу разности квадратов:

$$x^2+2ax+a^2-9=(x+a{)}^2-3^2=(x+a-3)(x+a+3).$$

Значит, уравнение системы имеет корни

$$x_1=0,x_2=3-a,x_3=-3-a.$$

Проверим для каждого из них неравенство $x^2+ax+3⩾0$. Удобно записать левую часть как $x(x+a)+3$.

При $x_1=0$ получаем $3⩾0$ — верно при всех $a$.

При $x_2=3-a$ имеем $x+a=3$, поэтому $x(x+a)+3=3(3-a)+3=12-3a$. Условие $12-3a⩾0$ даёт $a⩽4$.

При $x_3=-3-a$ имеем $x+a=-3$, поэтому $x(x+a)+3=-3(-3-a)+3=12+3a$. Условие $12+3a⩾0$ даёт $a⩾-4$.

Исходное уравнение имеет не более трёх корней: это те из чисел $x_1,x_2,x_3$, которые удовлетворяют неравенству. Ровно три различных решения будут тогда и только тогда, когда все три числа подходят и попарно различны.

Все три числа подходят при $-4⩽a⩽4$.

Проверим различие. $x_2=x_1$ при $3-a=0$, то есть $a=3$. $x_3=x_1$ при $-3-a=0$, то есть $a=-3$. Равенство $x_2=x_3$ означает $3-a=-3-a$, то есть $3=-3$, — это невозможно. Значит, нужно $a\ne 3$ и $a\ne -3$.

Объединим условия:

Ответ: $a\in [-4;-3)\cup (-3;3)\cup (3;4]$.