ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — многочлены и параметр

Разбор — 4 балла

Разложим на множители коэффициенты уравнения:

$$x^4-2x^2+1={\left(x^2-1\right)}^2=(x-1{)}^2(x+1{)}^2,x\left(x^2-1\right)=x(x-1)(x+1).$$

Теперь все три слагаемых содержат множитель $x-1$. Вынесем его за скобку:

$$(x-1)(a^2-x(x+1)a+(x-1)(x+1{)}^2)=0.$$

Выражение в скобках — квадратный трёхчлен относительно $a$:

$$a^2-\left(x^2+x\right)a+\left(x^2-1\right)(x+1).$$

Подберём его корни по теореме, обратной теореме Виета: нужны два числа с суммой $x^2+x$ и произведением $\left(x^2-1\right)(x+1)$. Подходят $a_1=x^2-1$ и $a_2=x+1$: их сумма равна $x^2-1+x+1=x^2+x$, а произведение — $\left(x^2-1\right)(x+1)$. Значит, трёхчлен раскладывается в произведение $\left(a-x^2+1\right)(a-x-1)$, и уравнение принимает вид

$$(x-1)\left(a-x^2+1\right)(a-x-1)=0.$$

Все множители определены при любых $x$ и $a$, поэтому уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}x=1,\\ a=x^2-1,\\ a=x+1.\end{array}$$

Будем решать задачу графически в плоскости $(x;a)$, откладывая $a$ по вертикальной оси. Уравнение $x=1$ задаёт вертикальную прямую, $a=x^2-1$ — параболу с ветвями вверх и вершиной $(0;-1)$, $a=x+1$ — прямую с угловым коэффициентом $1$.

При фиксированном $a$ корни уравнения — это абсциссы общих точек горизонтальной прямой $a=\mathrm{const}$ с построенными линиями. Если две линии пересекаются, их общая точка даёт один корень, а не два. Поэтому найдём точки пересечения линий:

• $x=1$ и $a=x+1$: $a=2$, точка $(1;2)$;
• $x=1$ и $a=x^2-1$: $a=0$, точка $(1;0)$;
• $a=x^2-1$ и $a=x+1$: $x^2-1=x+1$, $x^2-x-2=0$, $(x+1)(x-2)=0$, точки $(-1;0)$ и $(2;3)$.

Характерные положения горизонтальной прямой: через вершину параболы ($a=-1$), через точки $(-1;0)$ и $(1;0)$ ($a=0$, это ось абсцисс), через точку $(1;2)$ ($a=2$) и через точку $(2;3)$ ($a=3$).

Разберём все положения прямой, выписывая корни явно: $x=1$; $x=a-1$ (из $a=x+1$); $x=\pm \sqrt{a+1}$ (из $x^2=a+1$, только при $a⩾-1$).

1. $a<-1$. Парабола корней не даёт, так как $x^2=a+1<0$. Остаются $x=1$ и $x=a-1<-2$ — два различных корня. Подходит.

2. $a=-1$. Корни $x=1$, $x=-2$ и $x=0$ (вершина параболы) — три корня. Не подходит.

3. $-1<a<0$. Тогда $\sqrt{a+1}\in (0;1)$, поэтому корни параболы $\pm \sqrt{a+1}$ различны, лежат в интервале $(-1;1)$ и не равны $1$. Корень $a-1$ лежит в интервале $(-2;-1)$ и отличен от всех остальных. Четыре корня — не подходит.

4. $a=0$. Корни $x=1$, $x=-1$ и $x=\pm 1$. Различных корней два: $-1$ и $1$. Подходит.

5. $a>0$. Корни параболы $\sqrt{a+1}>1$ и $-\sqrt{a+1}<-1$ различны и не равны $1$. Корень $a-1$ совпадает с $1$ при $a=2$. С корнем $\sqrt{a+1}$ он совпадает, если $a-1=\sqrt{a+1}$: это требует $a⩾1$ и $(a-1{)}^2=a+1$, то есть $a^2-3a=0$, $a=3$. С корнем $-\sqrt{a+1}$ он совпасть не может, так как $a-1>-1>-\sqrt{a+1}$. Итак, при $a=2$ корни $1$ и $\pm \sqrt{3}$ — их три; при $a=3$ корни $1$, $2$, $-2$ — тоже три; при остальных $a>0$ корней четыре. Не подходит.

Объединим подходящие значения:

Ответ: $a\in (-\infty ;-1)\cup \{0\}$.