ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №19 — параметр и модуль

Разбор — 4 балла

Сделаем замену $t=\sin x+1$. Так как $-1⩽\sin x⩽1$, при всех действительных $x$ переменная $t$ пробегает весь отрезок $[0;2]$. Поэтому требование «неравенство выполнено при всех $x$» равносильно требованию «неравенство выполнено при всех $t\in [0;2]$».

Выразим всё через $t$. Так как $\sin x=t-1$,

$$3\sin x+a^2-22=3t+a^2-25,7\sin x+a+12=7t+a+5,11\sin x+11=11t.$$

Неравенство принимает вид

$$|3t+a^2-25|+|7t+a+5|⩽11t+|a^2+a-20|.$$

Перенесём всё в правую часть и рассмотрим функцию

$$y(t)=11t+|a^2+a-20|-|3t+a^2-25|-|7t+a+5|.$$

Нужно найти все $a$, при которых $y(t)⩾0$ для всех $t\in [0;2]$.

Монотонность. При фиксированном $a$ функция $y(t)$ непрерывна и кусочно-линейна: на каждом промежутке, где подмодульные выражения сохраняют знак, модули раскрываются со знаком «плюс» или «минус». Слагаемое $-|3t+a^2-25|$ добавляет к угловому коэффициенту $-3$ или $+3$, слагаемое $-|7t+a+5|$ — число $-7$ или $+7$, а $|a^2+a-20|$ от $t$ не зависит. Значит, на любом участке угловой коэффициент $y(t)$ равен одному из чисел

$$11-3-7=1,11+3-7=7,11-3+7=15,11+3+7=21.$$

Все они положительны, поэтому $y(t)$ возрастает на всём отрезке $[0;2]$.

Возрастающая функция принимает наименьшее значение на отрезке в его левом конце. Следовательно, $y(t)⩾0$ при всех $t\in [0;2]$ тогда и только тогда, когда $y(0)⩾0$:

$$|a^2+a-20|-|a^2-25|-|a+5|⩾0\iff |a^2+a-20|⩾|a^2-25|+|a+5|.$$

Модуль суммы. Обозначим $A=a^2-25$ и $B=a+5$. Заметим, что $A+B=a^2+a-20$, поэтому условие имеет вид

$$|A+B|⩾|A|+|B|.$$

Обе части неотрицательны, значит, неравенство равносильно неравенству их квадратов:

$$A^2+2AB+B^2⩾A^2+2|AB|+B^2\iff AB⩾|AB|.$$

Так как всегда $AB⩽|AB|$, это возможно только при $AB=|AB|$, то есть при $AB⩾0$. По смыслу: модуль суммы никогда не больше суммы модулей, и равенство бывает только тогда, когда числа не имеют разных знаков.

Получаем

$$(a^2-25)(a+5)⩾0\iff (a-5)(a+5{)}^2⩾0.$$

Множитель $(a+5{)}^2$ равен нулю при $a=-5$, и тогда неравенство верно. При $a\ne -5$ он положителен, и неравенство равносильно $a-5⩾0$, то есть $a⩾5$.

Ответ: $a\in \{-5\}\cup [5;+\infty )$.